The book is an introduction to type theory.

இந்தப் புத்தகம் வகை கோட்பாட்டின் அறிமுகமாகும்.


Type theory brings together logic and programming languages.

வகை கோட்பாடு தர்க்கத்தையும் நிரலாக்க மொழிகளையும் ஒன்றிணைக்கிறது.


The book is aimed at final-year undergraduates.

இந்தப் புத்தகம் இறுதி ஆண்டு இளங்கலை மாணவர்களை இலக்காகக் கொண்டது.


We begin with introductory material on logic.

நாம் தர்க்கத்தின் அறிமுகப் பொருட்களுடன் தொடங்குகிறோம்.


வகை கோட்பாட்டின் அமைப்பு சிக்கலானது.


Programs can be extracted from proofs in the logic.

நிரல்களை தர்க்கத்தில் உள்ள ஆதாரங்களிலிருந்து பிரித்தெடுக்க முடியும்.


The book also looks at the system from a mathematical perspective.

புத்தகம் கணிதப் பார்வையிலிருந்து இந்த அமைப்பைப் பார்க்கிறது.


Chapter six covers a variety of examples and larger case studies.

ஆறாவது அத்தியாயம் பல்வேறு எடுத்துக்காட்டுகளையும் பெரிய வழக்கு ஆய்வுகளையும் உள்ளடக்கியது.


We choose to stress the differences between the system and more traditional languages.

இந்த அமைப்புக்கும், பாரம்பரிய மொழிகளுக்கும் உள்ள வேறுபாடுகளை வலியுறுத்த நாங்கள் தேர்வு செய்கிறோம்.


இந்த அமைப்பு வெளிப்படையானது.


The author came to understand the distinctive role of assumptions.

எழுத்தாளர் அனுமானங்களின் தனித்துவமான பங்கை புரிந்து கொண்டார்.


The book is a self-contained introduction.

இந்தப் புத்தகம் ஒரு சுயாதீனமான அறிமுகமாகும்.


Readers familiar with natural deduction logic could begin with chapter three.

இயற்கை விலக்கு தர்க்கத்துடன் நன்கு அறிந்த வாசகர்கள் மூன்றாவது அத்தியாயத்துடன் தொடங்கலாம்.


Chapter four is the introduction to type theory.

நான்காவது அத்தியாயம் வகை கோட்பாட்டிற்கான அறிமுகமாகும்.


Someone keen to see applications of type theory can turn to chapter six.

வகை கோட்பாட்டின் பயன்பாடுகளைப் பார்க்க ஆர்வமுள்ளவர்கள் ஆறாவது அத்தியாயத்தைப் பார்க்கலாம்.


Chapter seven is perhaps best read after the examples of chapter six.

ஏழாவது அத்தியாயம், ஆறாவது அத்தியாயத்தின் எடுத்துக்காட்டுகளுக்குப் பிறகு படிப்பது சிறந்தது.


ஒவ்வொரு அத்தியாயத்திலும் பயிற்சிகள் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன.


The genesis of this book was a set of notes.

இந்தப் புத்தகத்தின் தோற்றம் குறிப்புகளின் தொகுப்பாகும்.


Thanks are due to colleagues from both institutions.

இரண்டு நிறுவனங்களைச் சேர்ந்த சக ஊழியர்களுக்கும் நன்றி.


The text was prepared using the LaTeX document preparation system.

உரை LaTeX ஆவண தயாரிப்பு முறையைப் பயன்படுத்தி தயாரிக்கப்பட்டது.


The program development section discusses the Polish National Flag problem.

நிரல் உருவாக்கம் பிரிவு போலந்து தேசியக் கொடி சிக்கலைப் பற்றி விவாதிக்கிறது.


திசையன்கள் பிரிவு 6.4.2 இல் விவாதிக்கப்படுகின்றன.


Proof extraction and top-down proof methods are explained.

நிரூபணச் சாறு மற்றும் மேல்-கீழ் நிரூபண முறைகள் விளக்கப்பட்டுள்ளன.


Predicate logic is a key concept in this chapter.

முன்னொட்டு தருக்கம் இந்த அத்தியாயத்தில் ஒரு முக்கிய கருத்தாகும்.


The text explores the concept of natural numbers.

உரை இயற்கை எண்களின் கருத்தை ஆராய்கிறது.


Program transformation techniques are also covered.

நிரல் மாற்றும் நுட்பங்களும் இதில் அடங்கும்.


The map and fold algorithms are important.

வரைபடம் மற்றும் மடிப்பு வழிமுறைகள் முக்கியமானவை.


Imperative programming is another topic discussed.

கட்டளை நிரலாக்கம் என்பது விவாதிக்கப்படும் மற்றொரு தலைப்பு.


The literature provides several examples.

இலக்கியம் பல எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குகிறது.


மார்ட்டின்-லோஃப்பின் பணி குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது.


The text also mentions the Goteborg project.

உரை கோதெபோர்க் திட்டத்தையும் குறிப்பிடுகிறது.


Backhouse et al.'s contributions are included.

பேகவுஸ் மற்றும் பலர் பங்களிப்புகள் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன.


The Nuprl system is discussed in detail.

நுப்ர்ல் அமைப்பு விரிவாக விவாதிக்கப்படுகிறது.


Calculus of Constructions is another area of focus.

கட்டுமானத்தின் கால்குலஸ் மற்றொரு முக்கிய பகுதியாகும்.


The chapter discusses augmenting type theory.

இந்த அத்தியாயம் வகை கோட்பாட்டைப் பற்றி விவாதிக்கிறது.


The concept of a specification is explained.

ஒரு விவரக்குறிப்பின் கருத்து விளக்கப்பட்டுள்ளது.


Computational irrelevance and lazy evaluation are key.

கணக்கீட்டுப் பொருத்தமின்மை மற்றும் சோம்பேறி மதிப்பீடு முக்கியம்.


துணைக்குழு வகை ஒரு மைய தலைப்பு.


Propositions not types are also considered.

வகைகள் அல்லாத முன்மொழிவுகளும் கருதப்படுகின்றன.


The text explores the G ̈odel Interpretation.

உரை கோடல் விளக்கத்தை ஆராய்கிறது.


The concept of reduction is fundamental in lambda calculus.

லாம்ப்டா கால்குலஸில் குறைப்பு என்ற கருத்து அடிப்படை ஒன்றாகும்.


If x is not free in e, then we can perform η-reduction.

x ஆனது e இல் சுதந்திரமாக இல்லாவிட்டால், நாம் η-குறைப்பைச் செய்யலாம்.


The expressions have the same computational behavior.

இந்த வெளிப்பாடுகள் ஒரே கணக்கீட்டு நடத்தையைக் கொண்டுள்ளன.


The rule identifies certain functions which have the same behavior.

இந்த விதி ஒரே மாதிரியான நடத்தையைக் கொண்ட சில செயல்பாடுகளை அடையாளம் காணுகிறது.


We generally consider η-reduction as an adjunct to β-reduction.

பொதுவாக, η-குறைப்பை β-குறைப்பிற்கு ஒரு துணையாகக் கருதுகிறோம்.


We can prove a Church-Rosser theorem for this relation.

இந்த உறவுக்கு ஒரு சர்ச்-ரோசர் தேற்றத்தை நாம் நிரூபிக்க முடியும்.


It seems more appropriate to read the η rule as symmetrical.

η விதியை சமச்சீராகப் படிப்பது மிகவும் பொருத்தமானது.


We look at this idea in the next section.

அடுத்த பகுதியில் இந்த யோசனையைப் பார்ப்போம்.


Show that if we write I for λx . x then λx . x(II)λx . xI are both head normal forms.

λx . x க்கு I என்று எழுதினால், λx . x(II)λx . xI இரண்டும் தலை இயல்பான வடிவங்கள் என்பதை நிரூபிக்கவும்.


We can also ask the more general question of which expressions have the same computational behaviour.

எந்த வெளிப்பாடுகள் ஒரே கணக்கீட்டு நடத்தையைக் கொண்டுள்ளன என்ற பொதுவான கேள்வியையும் நாம் கேட்கலாம்.


This section introduces a number of convertibility relations.

இந்த பகுதி பல மாற்றக்கூடிய உறவுகளை அறிமுகப்படுத்துகிறது.


The relations ‘→ β ’ and ‘→ η ’ are asymmetrical.

உறவுகள் ‘→ β ’ மற்றும் ‘→ η ’ ஆகியவை சமச்சீரற்றவை.


Two expressions e and f will be (βη-)convertible if and only if there exists a common (βη-)reduct of e and f.

இரண்டு வெளிப்பாடுகள் e மற்றும் f ஆகியவை (βη-)மாற்றக்கூடியதாக இருக்கும், இருந்தால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே e மற்றும் f இன் பொதுவான (βη-)குறைப்பு இருக்கும்.


Two functions with normal forms are convertible if and only if they have the same normal form.

இயல்பான வடிவங்களைக் கொண்ட இரண்டு செயல்பாடுகள், அவை ஒரே இயல்பான வடிவத்தைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே மாற்றக்கூடியவை.


It is for this reason that βη-convertibility is defined.

இந்தக் காரணத்திற்காகத்தான் βη-மாற்றக்கூடிய தன்மை வரையறுக்கப்படுகிறது.


The untyped λ-calculus is a simple theory of pure functions.

வகைப்படுத்தப்படாத λ-கணிதம் தூய செயல்பாடுகளின் ஒரு எளிய கோட்பாடாகும்.


It is Turing-complete, exhibiting an equivalence with Turing computability.

இது டூரிங்-முழுமையானது, டூரிங் கணக்கிடக்கூடிய தன்மையுடன் ஒரு சமநிலையை வெளிப்படுத்துகிறது.


One representation of the natural numbers is as the iterators.

இயற்கை எண்களின் ஒரு பிரதிநிதித்துவம் மீண்டும் மீண்டும் செய்பவர்களாகும்.


We need to be able to solve equations of the form f ≡ R f.

f ≡ R f என்ற வடிவத்தின் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க நாம் முடியும்.


Each of these expressions has a head normal form, but neither has a normal form.

இந்த வெளிப்பாடுகள் ஒவ்வொன்றும் ஒரு தலை இயல்பான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன, ஆனால் எதுவும் ஒரு இயல்பான வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை.


The rule of conjunction introduction combines derivations.

சேர்க்கை அறிமுக விதியின் மூலம் வழித்தோன்றல்களை இணைக்க முடியும்.


From proofs of A and B, we can infer A∧B.

A மற்றும் B ஆகியவற்றின் ஆதாரங்களிலிருந்து, A∧B ஐ நாம் ஊகிக்க முடியும்.


The assumptions upon which the proof of A∧B depends are those of the proofs of A and B combined.

A∧B இன் ஆதாரம் எதன் மீது தங்கியுள்ளதோ, அது A மற்றும் B ஆகியவற்றின் ஆதாரங்களின் சேர்க்கையாகும்.


A simple proof can be built from the two rules we have seen so far.

நாம் இதுவரை பார்த்த இரண்டு விதிகளிலிருந்து ஒரு எளிய ஆதாரத்தை உருவாக்க முடியும்.


Applying the introduction rule for conjunction three times, we have inferred the conjunction from its constituent parts.

சேர்க்கைக்கான அறிமுக விதியை மூன்று முறைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், அதன் பகுதிகளைக் கொண்டு சேர்க்கையை நாம் ஊகித்துள்ளோம்.


The rule above was called the ∧-introduction rule, since it shows how a formula whose top-level connective is a conjunction can be introduced.

மேலே உள்ள விதி ∧-அறிமுக விதி என்று அழைக்கப்பட்டது, ஏனெனில் இது ஒரு சேர்க்கையாக இருக்கும் ஒரு சூத்திரத்தை எவ்வாறு அறிமுகப்படுத்தலாம் என்பதைக் காட்டுகிறது.


Conversely, we have a rule which states what we can infer on the basis of a conjunction.

மாறாக, ஒரு சேர்க்கையின் அடிப்படையில் நாம் எதை ஊகிக்க முடியும் என்பதை கூறும் ஒரு விதியைக் கொண்டுள்ளோம்.


From a proof of A∧B we can infer both A and B.

A∧B இன் ஆதாரத்திலிருந்து, A மற்றும் B இரண்டையும் நாம் ஊகிக்க முடியும்.


We have another example which combines the use of the rules of introduction and elimination.

அறிமுகம் மற்றும் நீக்குதல் விதிகளைப் பயன்படுத்துவதை இணைக்கும் மற்றொரு உதாரணம் நம்மிடம் உள்ளது.


This proof exhibits the associativity of the conjunction operation.

இந்த ஆதாரம் சேர்க்கை செயல்பாட்டின் கூட்டல் பண்பைக் காட்டுகிறது.


Note that the single assumption upon which the proof depends is the formula (A∧B)∧C.

ஆதாரமானது தங்கியிருக்கும் ஒரே ஒரு அனுமானம் (A∧B)∧C என்ற சூத்திரமாகும் என்பதை நினைவில் கொள்க.


The introduction rule states that we can infer A∧B from A and B.

அறிமுக விதி, A மற்றும் B இலிருந்து A∧B ஐ நாம் ஊகிக்க முடியும் என்று கூறுகிறது.


The elimination rules state that if we can prove A∧B then we can prove each of the component formulae.

நீக்குதல் விதிகள், A∧B ஐ நிரூபிக்க முடிந்தால், ஒவ்வொரு கூறு சூத்திரத்தையும் நிரூபிக்க முடியும் என்று கூறுகின்றன.


We think of A⇒B as expressing A implies B.

A⇒B என்பது A, B ஐக் குறிக்கிறது என்று நினைக்கிறோம்.


In other words we would like to conclude A⇒B when we have a deduction of B assuming A.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், A ஐ கருதி B இன் கழித்தலை நாம் கொண்டிருக்கும்போது A⇒B ஐ முடிக்க விரும்புகிறோம்.


What are the assumptions upon which this new proof of A⇒B depends?

A⇒B இன் இந்த புதிய ஆதாரம் எதன் மீது தங்கியுள்ளது?


The reason that we no longer depend upon A is that A has become the hypothesis in the formula A⇒B.

நாம் இனி A ஐ நம்பியிருக்காததற்கான காரணம், A ஆனது A⇒B என்ற சூத்திரத்தில் கருதுகோளாக மாறியுள்ளது.


This is reinforced by the elimination rule for ⇒ which states that given proofs of A and A⇒B, we can infer B.

A மற்றும் A⇒B ஆகியவற்றின் ஆதாரங்கள் கொடுக்கப்பட்டால், B ஐ நாம் ஊகிக்க முடியும் என்று கூறும் ⇒ க்கான நீக்குதல் விதியால் இது வலுப்படுத்தப்படுகிறது.


From a proof of the formula B, which may depend upon the assumption A amongst others, we can infer the formula A⇒B from the same set of assumptions with A removed.

B என்ற சூத்திரத்தின் ஆதாரத்திலிருந்து, மற்றவற்றுடன் A என்ற அனுமானத்தை நம்பியிருக்கலாம், A ஐ நீக்கிய அதே அனுமானங்களின் தொகுப்பிலிருந்து A⇒B என்ற சூத்திரத்தை நாம் ஊகிக்க முடியும்.


In a substantial proof there will be many occurrences of rules which discharge assumptions.

ஒரு பெரிய ஆதாரத்தில், அனுமானங்களை வெளியேற்றும் விதிகளின் பல நிகழ்வுகள் இருக்கும்.


In other words, we need a proof for arbitrary x, which is exactly what the rule states.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நாம் தன்னிச்சையான x க்கு ஒரு ஆதாரத்தை உருவாக்க வேண்டும், இதுதான் விதியை சரியாகக் கூறுகிறது.


The rule for elimination of ∨ suggests the following for existential elimination: ∃x. A(x) [A(a)] . . . B [A(b)] . . . B. . . B

∨ ஐ நீக்குவதற்கான விதி, இருத்தலியல் நீக்குதலுக்கான பின்வருவனவற்றை பரிந்துரைக்கிறது: ∃x. A(x) [A(a)] . . . B [A(b)] . . . B. . . B


We obtain our rule by replacing all the individual proofs of B from A(a), A(b) and so forth by a proof from A(x) for an arbitrary x.

A(a), A(b) போன்றவற்றிலிருந்து B இன் அனைத்து தனிப்பட்ட ஆதாரங்களையும், தன்னிச்சையான x க்கான A(x) இலிருந்து ஒரு ஆதாரமாக மாற்றுவதன் மூலம் எங்கள் விதியைப் பெறுகிறோம்.


For the first example we assume θ≡ df ∀x.(P(x)⇒Q(x)) ∃x. P(x) and try to prove that ∃x. Q(x)

முதல் உதாரணத்திற்கு, θ≡ df ∀x.(P(x)⇒Q(x)) ∃x. P(x) என்று கருதி, ∃x. Q(x) என்பதை நிரூபிக்க முயற்சிக்கிறோம்.


Informally the inference is clear, but what do we do in our system?

முறையற்ற முறையில் இந்த அனுமானம் தெளிவாக உள்ளது, ஆனால் நம் அமைப்பில் நாம் என்ன செய்கிறோம்?


We have a universal assumption, θ, and the rule of universal elimination tells us that we can use any instance P(x)⇒P(x) of θ in our proof.

எங்களிடம் ஒரு உலகளாவிய அனுமானம், θ உள்ளது, மேலும் உலகளாவிய நீக்குதல் விதி, எங்கள் ஆதாரத்தில் θ இன் எந்த நிகழ்வையும் P(x)⇒P(x) பயன்படுத்தலாம் என்று கூறுகிறது.


If we adopt a backwards reading of the rule of existential elimination, then we see how to use an existential assumption.

இருத்தலியல் நீக்குதல் விதியின் பின்னோக்கிய வாசிப்பை நாம் ஏற்றுக்கொண்டால், இருத்தலியல் அனுமானத்தை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைப் பார்க்கிறோம்.


To use an existential assumption ∃x. P(x) , use the instance P(x) and finally discharge this using the rule (∃E).

ஒரு இருத்தலியல் அனுமானத்தை ∃x. P(x) பயன்படுத்த, P(x) நிகழ்வைப் பயன்படுத்தி, இறுதியாக (∃E) விதியைப் பயன்படுத்தி இதை வெளியேற்றவும்.


Proceeding thus we have P(x) ∀x.(P(x)⇒Q(x)) (P(x)⇒Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) From this we can infer ∃x. Q(x) (even though x is free in one of the assumptions — there are no restrictions on the rule (∃I)), and finally by existential elimination we have: ∃x. P(x) [P(x)] 1 ∀x.(P(x)⇒Q(x)) (P(x)⇒Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) ∃x. Q(x) (∃I) ∃x. Q(x) (∃E)

இவ்வாறு தொடர்ந்தால், P(x) ∀x.(P(x)⇒Q(x)) (P(x)⇒Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) இதிலிருந்து நாம் ∃x. Q(x) என்பதை அனுமானிக்க முடியும் (x ஆனது அனுமானங்களில் ஒன்றில் இலவசமாக இருந்தாலும் - (∃I) விதியில் எந்த கட்டுப்பாடுகளும் இல்லை), இறுதியாக இருத்தலியல் நீக்குதல் மூலம் நாம்: ∃x. P(x) [P(x)] 1 ∀x.(P(x)⇒Q(x)) (P(x)⇒Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) ∃x. Q(x) (∃I) ∃x. Q(x) (∃E)


For our second example, suppose we make the assumption that every object is either an apple or a banana: ∀x.(A(x)∨B(x)) and that both apples and bananas are tasty: ∀x.(A(x)⇒T(x)) ∀x.(B(x)⇒T(x))

இரண்டாவது உதாரணத்திற்கு, ஒவ்வொரு பொருளும் ஆப்பிள் அல்லது வாழைப்பழம் என்று நாம் கருதினால்: ∀x.(A(x)∨B(x)) மற்றும் ஆப்பிள்கள் மற்றும் வாழைப்பழங்கள் சுவையாக இருக்கும்: ∀x.(A(x)⇒T(x)) ∀x.(B(x)⇒T(x))


We will show that everything is tasty, ∀x. T(x).

எல்லாம் சுவையாக இருப்பதைக் காட்டுவோம், ∀x. T(x).


Applying the universal elimination rule three times we have (A(y)∨B(y)) (A(y)⇒T(y)) (B(y)⇒T(y))

உலகளாவிய நீக்குதல் விதியை மூன்று முறை பயன்படுத்துவதன் மூலம் நாம் (A(y)∨B(y)) (A(y)⇒T(y)) (B(y)⇒T(y)) பெறுகிறோம்.


and then we can infer T(y) on the basis of the second of these and the assumption A(y), using (⇒E).

பின்னர் இவற்றில் இரண்டாவதன் அடிப்படையிலும், A(y) என்ற அனுமானத்தின் அடிப்படையிலும் T(y) ஐ அனுமானிக்க முடியும், (⇒E) ஐப் பயன்படுத்தி.


We can similarly infer T(y) from B(y) and the universal statement, and are then in a position to apply (∨E).

இதேபோல் B(y) மற்றும் உலகளாவிய கூற்றிலிருந்து T(y) ஐ அனுமானிக்க முடியும், பின்னர் (∨E) ஐப் பயன்படுத்த முடியும்.


In the diagram which follows the hypotheses of the central proof are listed vertically.

மைய ஆதாரத்தின் கருதுகோள்கள் செங்குத்தாக பட்டியலிடப்பட்டுள்ள வரைபடம் கீழே உள்ளது.


introduction is then applied, giving . . . ∀x. T(x) (∀I)

அறிமுகம் பின்னர் பயன்படுத்தப்படுகிறது, கொடுப்பது . . . ∀x. T(x) (∀I)


Our final example concerns the proof of ∃y.∀x. A(x, y)⇒∀x.∃y. A(x, y)

எங்கள் இறுதி உதாரணம் ∃y.∀x. A(x, y)⇒∀x.∃y. A(x, y) என்பதற்கான ஆதாரத்தைப் பற்றியது.


The reader might like to refer back to the discussion on page 18 above.

வாசகர் மேலே பக்கம் 18 இல் உள்ள விவாதத்தை மீண்டும் பார்க்க விரும்பலாம்.


Remembering the rule of implication introduction, it is sufficient to prove ∀x.∃y. A(x, y) on the assumption of ∃y.∀x. A(x, y)

உட்குறிப்பு அறிமுக விதியை நினைவில் வைத்துக்கொண்டு, ∃y.∀x. A(x, y) என்ற அனுமானத்தின் அடிப்படையில் ∀x.∃y. A(x, y) என்பதை நிரூபிப்பது போதுமானது.


We have an existential assumption, so stripping off the quantifier we can by the rule (∃E) use instead the assumption ∀x. A(x, y)

எங்களிடம் ஒரு இருத்தலியல் அனுமானம் உள்ளது, எனவே அளவீட்டை அகற்றுவதன் மூலம் (∃E) விதியின் மூலம் ∀x. A(x, y) என்ற அனுமானத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.


நாம் வரையறுக்கும் அமைப்பு வேறுபட்டது.


A proof of a proposition can be seen as a member of the type.

ஒரு கருதுகோளின் ஆதாரம் வகையின் உறுப்பினராகக் காணப்படலாம்.


Ideas which come from one side can be re-interpreted on the other.

ஒரு பக்கத்திலிருந்து வரும் யோசனைகளை மறுபடியும் மற்றொன்றில் விளக்கலாம்.


We first present type theory as a logical system.

முதலில், வகை கோட்பாட்டை ஒரு தர்க்கரீதியான அமைப்பாக முன்வைக்கிறோம்.


The chapter begins with an informal examination.

அத்தியாயம் ஒரு முறைசாரா பரிசோதனையுடன் தொடங்குகிறது.


We look at the general form that the rules will take.

விதிகள் எடுக்கும் பொதுவான வடிவத்தை நாங்கள் பார்க்கிறோம்.


With each connective we associate four kinds of rule.

ஒவ்வொரு இணைப்புடனும் நாங்கள் நான்கு வகையான விதியை இணைக்கிறோம்.


From the programming point of view they assert the existence.

நிரலாக்கத்தின் பார்வையில், அவை இருப்பை வலியுறுத்துகின்றன.


We need to supply not only the syntax but also to explain how to evaluate.

நாம் தொடரியலை வழங்குவது மட்டுமல்லாமல், எவ்வாறு மதிப்பிடுவது என்பதையும் விளக்க வேண்டும்.


கணக்கீட்டு விதிகள் இதை விளக்குகின்றன.


We also give a formation rule which embodies the syntax.

நாங்கள் தொடரியலை உள்ளடக்கிய ஒரு உருவாக்கும் விதியையும் வழங்குகிறோம்.


The formal presentation of the logical rules is followed by examples.

தர்க்கரீதியான விதிகளின் முறையான விளக்கத்தை எடுத்துக்காட்டுகள் பின்பற்றுகின்றன.


After this we introduce the logical notions of quantifiers.

இதற்குப் பிறகு, அளவீடுகளின் தர்க்கரீதியான கருத்துக்களை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்.


Programming is dependent on the presence of data types.

நிரலாக்கம் தரவு வகைகளின் இருப்பைப் பொறுத்தது.


Infinite data types are characterised by principles.

வரையற்ற தரவு வகைகள் கொள்கைகளால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன.


இரண்டு முறைகளும் கைகோர்த்துச் செல்கின்றன.


This recursive characterisation carries over to other types.

இந்த மறுநிகழ்வு வகைப்பாடு மற்ற வகைகளுக்கும் பொருந்தும்.


The assertion of the identity forms a fundamental proposition.

அடையாளத்தின் கூற்று ஒரு அடிப்படை கருதுகோளை உருவாக்குகிறது.


There is another relation linking items, generated by ‘→’.

உருப்படிகளை இணைக்கும் மற்றொரு தொடர்பு உள்ளது, இது ‘→’ மூலம் உருவாக்கப்பட்டது.


This means that our system gives an integrated treatment.

இதன் பொருள் என்னவென்றால், எங்கள் அமைப்பு ஒருங்கிணைந்த சிகிச்சையை வழங்குகிறது.


The book explores the foundations of constructive mathematics.

கட்டுமானம் சார்ந்த கணிதத்தின் அடிப்படைகளை இந்தப் புத்தகம் ஆராய்கிறது.


Constructive mathematics emphasizes the computational content of proofs.

கட்டுமானம் சார்ந்த கணிதம், ஆதாரங்களின் கணக்கீட்டு உள்ளடக்கத்தை வலியுறுத்துகிறது.


We will examine the principles of constructive logic.

கட்டுமானம் சார்ந்த தர்க்கத்தின் கொள்கைகளை நாம் ஆராய்வோம்.


The author discusses the concept of a 'witness' in proofs.

ஆசிரியர் ஆதாரங்களில் 'சாட்சி' என்ற கருத்தை விவாதிக்கிறார்.


Every object in constructive mathematics is either finite or has a finitary description.

கட்டுமானம் சார்ந்த கணிதத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு பொருளும் வரையறுக்கப்பட்டதாகவோ அல்லது வரையறுக்கப்பட்ட விளக்கத்தைக் கொண்டதாகவோ இருக்கும்.


The text contrasts constructive mathematics with classical mathematics.

இந்த உரை கட்டுமானம் சார்ந்த கணிதத்தை, மரபுரீதியான கணிதத்துடன் வேறுபடுத்துகிறது.


The book introduces the concept of type theory.

இந்தப் புத்தகம் வகை கோட்பாட்டின் கருத்தை அறிமுகப்படுத்துகிறது.


The intermediate value theorem is discussed in the context of constructive mathematics.

இடைநிலை மதிப்பு தேற்றம், கட்டுமானம் சார்ந்த கணிதத்தின் பின்னணியில் விவாதிக்கப்படுகிறது.


The author explains the difference between computation and equivalence rules.

கணக்கீடு மற்றும் சமமான விதிகள் இரண்டிற்கும் உள்ள வித்தியாசத்தை ஆசிரியர் விளக்குகிறார்.


The book explores the role of general recursion.

பொதுவான மறுபடியும் நிகழ்தலின் பங்கை இந்தப் புத்தகம் ஆராய்கிறது.


The text covers the concept of printable values.

இந்த உரை அச்சிடக்கூடிய மதிப்புகளின் கருத்தை உள்ளடக்கியது.


The author discusses the law of the excluded middle.

விதிக்கப்பட்ட நடுநிலைமையின் விதியை ஆசிரியர் விவாதிக்கிறார்.


The book provides a detailed analysis of the foundations.

இந்தப் புத்தகம் அடிப்படைகளின் விரிவான பகுப்பாய்வை வழங்குகிறது.


The text examines the nature of mathematical objects.

கணிதப் பொருட்களின் தன்மையை இந்த உரை ஆராய்கிறது.


The book introduces the concept of apartness.

இந்தப் புத்தகம் பிரிந்து இருத்தலின் கருத்தை அறிமுகப்படுத்துகிறது.


The author explains the principle of complete presentation.

முழுமையான விளக்கத்தின் கொள்கையை ஆசிரியர் விளக்குகிறார்.


The text explores the relationship between category theory and logic.

வகை கோட்பாடு மற்றும் தர்க்கம் ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான உறவை இந்த உரை ஆராய்கிறது.


The book discusses the role of functions in constructive mathematics.

கட்டுமானம் சார்ந்த கணிதத்தில் செயல்பாடுகளின் பங்கை இந்தப் புத்தகம் விவாதிக்கிறது.


The author provides examples of constructive proofs.

கட்டுமானம் சார்ந்த ஆதாரங்களுக்கான உதாரணங்களை ஆசிரியர் வழங்குகிறார்.


The text aims to introduce the major issues underlying the conflict between constructive and classical mathematics.

கட்டுமானம் சார்ந்த மற்றும் மரபுரீதியான கணிதத்திற்கு இடையேயான மோதலுக்கு அடிப்படையாக இருக்கும் முக்கிய பிரச்சினைகளை அறிமுகப்படுத்துவதை இந்த உரை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளது.


The function's domain type is included in the notation.

செயல்பாட்டின் கள வகையானது குறியீட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது.


Function application follows the Elimination Rule for ⇒.

செயல்பாட்டு பயன்பாடு ⇒ க்கான நீக்குதல் விதியைப் பின்பற்றுகிறது.


The computation rule is essentially β-reduction.

கணக்கீட்டு விதி அடிப்படையில் β-குறைப்பு ஆகும்.


We use subscripts to indicate the type, for example, λx A . e.

வகையைக் குறிக்க அடிக்குறிப்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம், எடுத்துக்காட்டாக, λx A . e.


Function application is left associative.

செயல்பாட்டு பயன்பாடு இடது பக்கமாக ஒருங்கிணைக்கப்பட்டுள்ளது.


The Curry-Howard isomorphism is a key concept.

கறி-ஹோவர்ட் ஐசோமார்பிசம் ஒரு முக்கிய கருத்தாகும்.


∨ ஆபரேட்டரின் விதிகள் ஆராயப்படுகின்றன.


A disjoint union is often known as a variant record.

ஒரு தனித்த ஒன்றியம் பெரும்பாலும் மாறுபட்ட பதிவு என அறியப்படுகிறது.


The cases operator is used for disjoint unions.

வழக்குகள் ஆபரேட்டர் தனித்த ஒன்றியங்களுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.


The empty type is a type without members.

காலி வகை என்பது உறுப்பினர்கள் இல்லாத ஒரு வகையாகும்.


The rule of assumption requires A to be a type.

கருதுகோளின் விதியில் A ஒரு வகையாக இருக்க வேண்டும்.


These rules can be read as rules for types and objects.

இந்த விதிகளை வகைகள் மற்றும் பொருள்களுக்கான விதிகள் எனப் படிக்கலாம்.


அடையாளச் செயல்பாடு λx A . x ஆகும்.


உள்ளடக்கம் கடந்து செல்லும் தன்மை கொண்டது.


The function derived here is the composition of functions.

இங்கு பெறப்பட்ட செயல்பாடு செயல்பாடுகளின் கலவையாகும்.


வகைகள் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கலாம்.


Different derivations can give rise to the same proof object.

வெவ்வேறு வழித்தோன்றல்கள் ஒரே மாதிரியான நிரூபணப் பொருளை உருவாக்கலாம்.


We will return to the discussion of which proof objects are to be considered to be the same.

எந்த நிரூபணப் பொருட்களை ஒரே மாதிரியாகக் கருத வேண்டும் என்பது பற்றிய விவாதத்திற்கு நாங்கள் திரும்புவோம்.


Let us consider one relationship between conjunction and disjunction.

இணைப்பு மற்றும் பிரிப்புக்கு இடையிலான ஒரு உறவை நாம் கருத்தில் கொள்வோம்.


The existential quantifier is most apparent when investigating its meaning.

இருப்புநிலை அளவீடு அதன் பொருளை விசாரிக்கும்போது மிகவும் வெளிப்படையாகத் தெரிகிறது.


The function returns a function of type (P⇒Q) which expects an argument of type P.

இந்தச் செயல்பாடு (P⇒Q) வகையைச் சேர்ந்த ஒரு செயல்பாட்டை வழங்குகிறது, இது P வகையைச் சேர்ந்த ஒரு வாதத்தை எதிர்பார்க்கிறது.


By this we mean that on being passed an argument of type X, the function returns a function.

இதன் மூலம், X வகையைச் சேர்ந்த ஒரு வாதம் அனுப்பப்படும்போது, செயல்பாடு ஒரு செயல்பாட்டை வழங்குகிறது என்று பொருள்.


The pair of functions we derived above can be seen to map from one function representation to another.

நாம் மேலே பெற்ற செயல்பாடுகளின் ஜோடி, ஒரு செயல்பாட்டு பிரதிநிதித்துவத்திலிருந்து மற்றொரு பிரதிநிதித்துவத்திற்கு மாறுகிறது.


Consider the case in which we want to return one of two results conditional on some property.

சில பண்புகளைப் பொறுத்து, இரண்டு முடிவுகளில் ஒன்றை நாம் திரும்பப் பெற விரும்பும் ஒரு வழக்கைக் கவனியுங்கள்.


We call this the type bool of boolean values and for the sake of tradition call the two values True and False.

இதனை பூலியன் மதிப்புகளின் வகை bool என்று அழைக்கிறோம், மேலும் மரபுக்காக, இரண்டு மதிப்புகளையும் True மற்றும் False என்று அழைக்கிறோம்.


The type bool is simply a finite type containing two values.

bool வகை என்பது இரண்டு மதிப்புகளைக் கொண்ட ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வகையாகும்.


The role of the type is computational: we can build the expression if . . . then . . . else . . .

வகையின் பங்கு கணக்கீட்டு ரீதியானது: நாம் if . . . then . . . else . . . என்ற வெளிப்பாட்டை உருவாக்கலாம்.


The value of if b then e else f is e if b evaluates to True, otherwise it is f.

b ஆனது True என மதிப்பிட்டால், if b then e else f இன் மதிப்பு e ஆகும், இல்லையெனில் அது f ஆகும்.


Consider the example if tr then False else True This has the type bool if we assume that tr:bool.

உதாரணமாக if tr then False else True என்பதை எடுத்துக் கொண்டால், tr:bool என்று நாம் கருதினால், இது bool வகையைக் கொண்டுள்ளது.


Define functions which behave as the disjunction (‘or’) and material implication (‘implies’) operations over the boolean type.

பூலியன் வகையின் மீது பிரிப்பு (‘அல்லது’) மற்றும் பொருள்ரீதியான குறிப்பு (‘குறிக்கிறது’) செயல்பாடுகளாக செயல்படும் செயல்பாடுகளை வரையறுக்கவும்.


Define the function equiv:bool⇒bool⇒bool so that equiv b1 b2 is True if and only if b1 and b2 are equal.

equiv b1 b2 ஆனது True ஆக இருக்கும் வகையில் equiv:bool⇒bool⇒bool என்ற செயல்பாட்டை வரையறுக்கவும், b1 மற்றும் b2 சமமாக இருந்தால் மட்டுமே.


For n a natural number, the type Nn has n elements, 1n, 2n, . . . , nn the subscript showing the type from which the element comes.

இயற்கை எண்ணான n க்கு, Nn வகை n உறுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது, 1n, 2n, . . . , nn, உறுப்பு எந்த வகையைச் சேர்ந்தது என்பதைக் குறிக்கிறது.


We have already seen a two element type, where we identify 12 with True and 22 with False.

நாம் ஏற்கனவே இரண்டு உறுப்பு வகையைப் பார்த்திருக்கிறோம், அங்கு 12 ஐ True என்றும் 22 ஐ False என்றும் அடையாளப்படுத்துகிறோம்.


Explain how to define the equality function equal n :N n ⇒N n ⇒bool

சமத்துவச் செயல்பாடு equal n :N n ⇒N n ⇒bool ஐ எவ்வாறு வரையறுப்பது என்பதை விளக்குங்கள்.


The successor and predecessor of m n are (m+ 1) n and (m−1) n, except for the predecessor of 0 n, which is n n and the successor of n n which is 0 n.

m n இன் அடுத்தடுத்த மற்றும் முந்தைய எண்கள் (m+ 1) n மற்றும் (m−1) n ஆகும், 0 n இன் முந்தைய எண்ணைத் தவிர, அது n n மற்றும் n n இன் அடுத்தடுத்த எண் 0 n ஆகும்.


If we have a one element type, the rules may be specialised.

ஒரு உறுப்பு வகையை நாம் கொண்டிருந்தால், விதிகள் சிறப்புத்தன்மை பெறலாம்.


The one element type, >, has a logical interpretation.

ஒரு உறுப்பு வகை, > ஒரு தர்க்கரீதியான விளக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது.


We have already seen the natural numbers as a base type of our λ-calculus in chapter 2.

நாம் ஏற்கனவே இயற்கை எண்களை நமது λ-கணக்கீட்டின் அடிப்படை வகையாக 2 ஆம் அத்தியாயத்தில் பார்த்தோம்.


Natural numbers are either zero or a successor.

இயற்கை எண்கள் பூஜ்ஜியமாகவோ அல்லது அடுத்ததாகவோ இருக்கும்.


We eliminate natural numbers by means of definition by primitive recursion.

ஆரம்பநிலை மறுபயன்பாட்டின் மூலம் வரையறையின் மூலம் இயற்கை எண்களை நீக்குகிறோம்.


அந்த பொருள் தனக்கு சமமானது.


We can derive rules which look stronger than this.

இதைவிட வலுவான விதிகளை நாம் பெறலாம்.


The essence of equality is that equals can be substituted for equals.

சமத்துவத்தின் சாராம்சம் என்னவென்றால், சமமானவற்றை சமமானவற்றுக்கு மாற்ற முடியும்.


Suppose that we have some proof p of a proposition P involving a.

a ஐ உள்ளடக்கிய ஒரு கூற்றின் P இன் சில ஆதாரங்கள் p நம்மிடம் இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம்.


We should be able to infer the proposition P' resulting from us replacing some of the occurrences of a in P by b.

P இல் உள்ள a இன் சில நிகழ்வுகளை b ஆல் மாற்றுவதன் விளைவாக வரும் P' என்ற கூற்றை நாம் ஊகிக்க முடியும்.


We can of course replace all the occurrences of a by making sure that x is not free in C.

நிச்சயமாக, C இல் x இலவசமாக இல்லை என்பதை உறுதி செய்வதன் மூலம் a இன் அனைத்து நிகழ்வுகளையும் மாற்றலாம்.


There is one extra refinement in our rule — we allow the formula C to mention the equality proof object r too.

எங்கள் விதியில் ஒரு கூடுதல் திருத்தம் உள்ளது - சூத்திரம் C சமத்துவ ஆதார பொருள் r ஐயும் குறிப்பிட அனுமதிக்கிறோம்.


Theorem 4.4 Leibnitz’s law is derivable.

தேற்றம் 4.4 லைப்னிட்ஸின் விதி பெறப்பட்டது.


J ஆபரேட்டரை எவ்வாறு நீக்குவது?


If we eliminate an r(a) we simply return the object d.

ஒரு r(a) ஐ நீக்கினால், நாம் d என்ற பொருளைத் திருப்பி அனுப்புகிறோம்.


The introduction rule means that equality is reflexive.

அறிமுக விதி என்றால் சமத்துவம் பிரதிபலிப்பு ஆகும்.


சமத்துவம் சமச்சீராகும்.


Finally we show that it is transitive, making it an equivalence relation.

இறுதியாக, அது கடந்து செல்லும் என்பதை நாங்கள் காட்டுகிறோம், இது ஒரு சமமான உறவை உருவாக்குகிறது.


When we first talked about the different sorts of rule, we observed that it was the elimination rules which specified that all the elements of a type had the form introduced by the introduction rules.

விதிமுறைகளின் வெவ்வேறு வகைகளைப் பற்றி முதலில் பேசியபோது, அறிமுக விதிகளால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட வடிவத்தில் ஒரு வகையின் அனைத்து கூறுகளும் உள்ளன என்பதை நீக்குதல் விதிகள் குறிப்பிட்டன என்பதை நாங்கள் கவனித்தோம்.


In order to make the system non-trivial we can add an axiom to the effect that ax:¬(True = bool False) so that True and False are distinct.

கணினியை சாதாரணமற்றதாக மாற்ற, ax:¬(True = bool False) என்ற விளைவுக்கு ஒரு கருத்தை சேர்க்கலாம், இதனால் உண்மை மற்றும் பொய் வேறுபட்டவை.


A simple example is a family of types over a boolean variable x which is N when that variable is True and bool when the variable is False.

ஒரு எளிய உதாரணம் என்னவென்றால், ஒரு பூலியன் மாறி x இன் வகைகளின் குடும்பம், அந்த மாறி உண்மை மற்றும் மாறி பொய் ஆக இருக்கும்போது பூலியன் ஆகும்.


From programming, an interesting example is the predecessor function over the natural numbers.

நிரலாக்கத்திலிருந்து, ஒரு சுவாரஸ்யமான எடுத்துக்காட்டு இயற்கை எண்களின் முந்தைய செயல்பாடு ஆகும்.


In traditional programming languages, we usually give the predecessor an arbitrary value, like 0, at 0.

பாரம்பரிய நிரலாக்க மொழிகளில், நாம் பொதுவாக முன்னோடிக்கு 0 போன்ற ஒரு தன்னிச்சையான மதிப்பைக் கொடுக்கிறோம்.


We can use the rule (IE) to show that they are all equal.

அவை அனைத்தும் சமம் என்பதை நிரூபிக்க (IE) விதியைப் பயன்படுத்தலாம்.


In this section we examine the rules of computation together with the relation of equivalence or convertibility generated by them.

இந்த பிரிவில், கணக்கீட்டு விதிகளை, அவற்றால் உருவாக்கப்பட்ட சமமான அல்லது மாற்றக்கூடிய உறவுடன் ஆராய்கிறோம்.


The system uses four different notions of equality.

இந்த அமைப்பு நான்கு வெவ்வேறு வகையான சமத்துவக் கருத்துகளைப் பயன்படுத்துகிறது.


Definitional equality is as close as we get to literal identity.

வரையறை சமத்துவம் என்பது நேரடி அடையாளத்திற்கு மிக அருகில் உள்ளது.


Convertibility is external to the system.

மாற்றக்கூடிய தன்மை அமைப்புக்கு வெளியே உள்ளது.


Equality functions return values in the type bool.

சமத்துவச் செயல்பாடுகள் bool வகையிலான மதிப்புகளைத் தருகின்றன.


We compare these different relations in sections 5.7 and 5.8.

பிரிவுகள் 5.7 மற்றும் 5.8 இல் இந்த வெவ்வேறு உறவுகளை ஒப்பிடுகிறோம்.


A truly extensional equality can be added to the system.

உண்மையான விரிவாக்க சமத்துவத்தை இந்த அமைப்பில் சேர்க்க முடியும்.


The system can be augmented in a number of ways.

இந்த அமைப்பை பல வழிகளில் மேம்படுத்தலாம்.


The notion of a type of types is inconsistent.

வகைகளின் வகை என்ற கருத்து முரணானது.


We show how a sequence of ‘universes’ of types can be added.

வகைகளின் ‘பிரபஞ்சங்களின்’ வரிசையை எவ்வாறு சேர்ப்பது என்பதை நாங்கள் காட்டுகிறோம்.


We give the general mechanism by which well-founded types are defined.

நன்கு நிறுவப்பட்ட வகைகளை வரையறுப்பதற்கான பொதுவான வழிமுறையை நாங்கள் வழங்குகிறோம்.


We conclude the chapter with a second look at the Curry Howard isomorphism.

கறி ஹோவர்ட் ஐசோமார்பிசத்தைப் பற்றிய இரண்டாவது பார்வையின் மூலம் இந்த அத்தியாயத்தை முடிக்கிறோம்.


Derivations depend upon collections of assumptions.

வழித்தோன்றல்கள் அனுமானங்களின் தொகுப்புகளைப் பொறுத்தது.


We look at the precise form that these collections take.

இந்தத் தொகுப்புகள் எடுக்கும் சரியான வடிவத்தைப் பார்க்கிறோம்.


A useful exercise is to make an implementation of it.

இது ஒரு பயனுள்ள பயிற்சி.


Mathematical notation is a powerful tool.

கணிதக் குறியீடு ஒரு சக்திவாய்ந்த கருவியாகும்.


Assumptions do not appear at the leaves of a derivation.

வழித்தோன்றலின் இலைகளில் அனுமானங்கள் தோன்றாது.


There is an ordering of dependency between them.

அவற்றுக்கிடையே ஒரு சார்பு வரிசை உள்ளது.


We might reconsider the proof of the symmetry of equality.

சமத்துவத்தின் சமச்சீர்மைக்கான ஆதாரத்தை நாம் மறுபரிசீலனை செய்யலாம்.


நாம் அனுமானங்களை வெளியேற்றலாம்.


We must discharge the assumption on x before discharging either of the assumptions on a and b.

a மற்றும் b மீதான அனுமானங்களை வெளியேற்றுவதற்கு முன், x மீதான அனுமானத்தை நாம் வெளியேற்ற வேண்டும்.


The system's syntax is based on the concept of type theory.

இந்த அமைப்பின் சொற்றொடரியல் வகை கோட்பாட்டின் கருத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது.


We might use substitution rules to derive the same result.

நாம் அதே முடிவைப் பெற மாற்று விதிகளைப் பயன்படுத்தலாம்.


The main results we prove concern type uniqueness.

நாம் நிரூபிக்கும் முக்கிய முடிவுகள் வகைகளின் தனித்தன்மையைச் சார்ந்தவை.


A rule is derivable if we can construct a derivation.

ஒரு விதியை நாம் பெற முடியும் என்றால், நாம் ஒரு வழித்தோன்றலை உருவாக்க முடியும்.


We need to modify the rules slightly for this property.

இந்த பண்புக்காக நாம் விதிகளை சிறிது மாற்றியமைக்க வேண்டும்.


The base case for induction is the variable introduction.

தூண்டலுக்கான அடிப்படை வழக்கு மாறி அறிமுகப்படுத்துவதாகும்.


If we assume the result for the hypotheses, we can derive the type.

கருதுகோள்களுக்கான முடிவை நாம் கருதினால், வகையைப் பெறலாம்.


We revise the rules to include type expressions.

வகை வெளிப்பாடுகளைச் சேர்க்கும் வகையில் விதிகளைத் திருத்துகிறோம்.


The judgement (A∨B) is a type can be constructed.

(A∨B) ஒரு வகை என்ற தீர்ப்பை உருவாக்க முடியும்.


We shall in practice omit the second premiss.

நாம் நடைமுறையில் இரண்டாவது முன்மொழிவை விடுவிப்போம்.


We need to know that the family P is a type.

P குடும்பம் ஒரு வகை என்பதை நாம் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்.


We shall suppress this third premiss in practice.

நடைமுறையில் இந்த மூன்றாவது முன்மொழிவை நாங்கள் அடக்குவோம்.


Other rules require additional premisses.

பிற விதிகளுக்கு கூடுதல் முன்மொழிவுகள் தேவை.


The revised rules are used for disjunction and elimination.

திருத்தப்பட்ட விதிகள் பிரித்தல் மற்றும் நீக்குதலுக்காகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.


இறுதி வழக்கு மாற்றீட்டைப் பற்றி கருதுகிறது.


By induction, we have a derivation of B(c) is a type.

தூண்டல் மூலம், B(c) ஒரு வகை என்பதற்கான வழித்தோன்றல் நமக்கு உள்ளது.


Applying the instance of (S 1 ) which follows, the result is clear.

(S 1) இன் நிகழ்வைப் பயன்படுத்துவதால், முடிவு தெளிவாகிறது.


Given a derivation of a:A we can construct a derivation of A is a type.

a:A இன் வழித்தோன்றல் கொடுக்கப்பட்டால், A ஒரு வகை என்பதற்கான வழித்தோன்றலை உருவாக்கலாம்.


In a practical system, we would separate these concerns.

ஒரு நடைமுறை அமைப்பில், நாம் இந்த கவலைகளைப் பிரிப்போம்.


The types of expressions are unique in this system.

இந்த அமைப்பில் வெளிப்பாடுகளின் வகைகள் தனித்துவமானவை.


ஒரு சொல்லின் இயல்பான வடிவம் தனித்துவமானது.


We will investigate these properties in the following section.

அடுத்த பகுதியில் இந்த பண்புகளை ஆராய்வோம்.


The proof is based on Martin-Löf’s proof.

இந்த ஆதாரம் மார்ட்டின்-லோஃப்பின் ஆதாரத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது.


இது ஒரு விரும்பத்தக்க முடிவு.


We shall investigate these properties for T T c 0 in the following section.

அடுத்த பகுதியில் T T c 0 இன் பண்புகளை ஆராய்வோம்.


The normalisation result is important in itself.

இயல்பாக்கம் முடிவு அதன் சொந்த முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது.


We must go through the constructs of the theory in turn.

நாம் கோட்பாட்டின் கட்டமைப்புகளை வரிசையாகப் பார்க்க வேண்டும்.


The result is proved in such a way that it has a number of important corollaries for the system.

இந்த முடிவு, அமைப்புக்கு பல முக்கியமான துணைவிளைவுகளைக் கொண்டுள்ளது.


We shall not cover the cases of function spaces or conjunctions as they are simply special cases of universally and existentially quantified types.

செயல்பாட்டு இடங்கள் அல்லது இணைப்புகளைப் பற்றிய நிகழ்வுகளை நாங்கள் உள்ளடக்குவதில்லை, ஏனெனில் அவை உலகளாவிய மற்றும் இருப்பு ரீதியாக அளவிடப்பட்ட வகைகளின் சிறப்பு நிகழ்வுகளாகும்.


It is important to observe that the redex (II) is visible in this supercombinator abstraction.

இந்த சூப்பர் காம்பினேட்டர் சுருக்கத்தில் ரெட்ரெக்ஸ் (II) தெரிவது முக்கியம்.


In the proof we say that a ′ is parametric if it has this pair of properties.

ஆதாரத்தில், a ′ ஆனது இந்த பண்புகளைக் கொண்டிருந்தால், அது அளவுரு என்று கூறுகிறோம்.


We shall retain the old notation of type forming operations, but we should always recall that it is a shorthand for a notation which is more expressive in allowing a particular expression to be described in different ways, making redexes visible or invisible.

வகை உருவாக்கும் செயல்பாடுகளின் பழைய குறியீட்டை நாங்கள் தக்க வைத்துக் கொள்வோம், ஆனால் இது ஒரு குறிப்பிட்ட வெளிப்பாட்டை வெவ்வேறு வழிகளில் விவரிக்க அனுமதிப்பதில் மிகவும் வெளிப்படையான ஒரு குறியீட்டிற்கான சுருக்கம் என்பதை நாம் எப்போதும் நினைவில் கொள்ள வேண்டும், இது ரெட்ரெக்ஸை காணக்கூடியதாகவோ அல்லது காணமுடியாததாகவோ ஆக்குகிறது.


Given derivations of a 1 :A 1 , . . . , a n :A n [a 1 /x 1 , . . . , a n−1 /x n−1 ] we require that (a(a 1 , . . . , a n )) ′ ≡a ′ (a ′ 1 , . . . , a ′ n ) with a similar definition for A ′ .

a 1 :A 1 , . . . , a n :A n [a 1 /x 1 , . . . , a n−1 /x n−1 ] ஆகியவற்றின் வழித்தோன்றல்கள் கொடுக்கப்பட்டால், (a(a 1 , . . . , a n )) ′ ≡a ′ (a ′ 1 , . . . , a ′ n ) என்று தேவைப்படுகிறோம், A ′ க்கு இதே போன்ற வரையறையுடன்.


The way that the system is presented, derivability is plainly semi-decidable: a judgement is derivable if and only if there is a derivation of it.

அமைப்பு வழங்கப்பட்ட விதத்தில், வழித்தோன்றல் தெளிவாக அரை-தீர்மானிக்கக்கூடியது: ஒரு தீர்ப்பு வழித்தோன்றல் இருந்தால் மட்டுமே பெறப்படும்.


We ordained earlier that we would treat interconvertible expressions as denoting the same object, and that we would be able to substitute convertible elements for each other.

நாம் முன்பு, ஒன்றோடொன்று மாற்றக்கூடிய வெளிப்பாடுகளை ஒரே பொருளைக் குறிப்பதாகக் கருதுவோம், மேலும் மாற்றக்கூடிய கூறுகளை ஒருவருக்கொருவர் மாற்ற முடியும் என்று ஆணையிட்டோம்.


In the following section we look in more detail at the various equalities of the system, and explain our approach to extensionality in more detail.

அடுத்த பகுதியில், அமைப்பின் பல்வேறு சமத்துவங்களை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம், மேலும் விரிவாக்கத்திற்கான எங்கள் அணுகுமுறையை இன்னும் விரிவாக விளக்குவோம்.


The abstraction of e over x is given by g f 1 . . . f l

x மீது e இன் சுருக்கம் g f 1 . . . f l ஆல் வழங்கப்படுகிறது.


To choose a concrete example, if a:N depends upon x:N, then a ′ will be a function from numerals to numerals, since numerals are the closed normal forms of natural number type.

ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்தைத் தேர்ந்தெடுக்க, a:N ஆனது x:N ஐப் பொறுத்திருந்தால், a ′ ஆனது எண்களிலிருந்து எண்களுக்கு ஒரு செயல்பாடாக இருக்கும், ஏனெனில் எண்கள் இயல் எண்களின் மூடிய இயல்பான வடிவங்களாகும்.


We require two conditions of the functions a ′ and A ′

செயல்பாடுகள் a ′ மற்றும் A ′ க்கு இரண்டு நிபந்தனைகள் தேவை.


This is a desirable result. We ordained earlier that we would treat interconvertible expressions as denoting the same object, and that we would be able to substitute convertible elements for each other.

இது ஒரு விரும்பத்தக்க முடிவு. ஒன்றோடொன்று மாற்றக்கூடிய வெளிப்பாடுகளை ஒரே பொருளைக் குறிப்பதாகக் கருதுவோம், மேலும் மாற்றக்கூடிய கூறுகளை ஒருவருக்கொருவர் மாற்ற முடியும் என்று நாங்கள் முன்பு ஆணையிட்டோம்.


கணக்கீடு a→b என்றால், a↔↔b.


தன் பிரதிபலிப்பு a↔↔a.


சமச்சீர் தன்மை: a↔↔b என்றால் b↔↔a.


கடப்புத்தன்மை: a↔↔b மற்றும் b↔↔c என்றால் a↔↔c.


பதிலீடு: a↔↔b மற்றும் c↔↔d என்றால் a[c/x]↔↔b[d/x].


We saw in the last section that two terms were convertible if and only if they have the same normal form, this means that the relation of convertibility is decidable.

கடைசிப் பகுதியில், இரண்டு சொற்கள் மாற்றக்கூடியவை என்றால், அவை ஒரே இயல்பான வடிவத்தைக் கொண்டிருந்தன, அதாவது மாற்றக்கூடிய தன்மை தீர்மானிக்கக்கூடியது.


The definition of convertibility is external to the system —a↔↔bis intended to embody the fact that the two expressionsaandbdenote the same object.

மாற்றக்கூடிய தன்மையின் வரையறை அமைப்புக்கு வெளியே உள்ளது — a↔↔b என்பது இரண்டு வெளிப்பாடுகளும் ஒரே பொருளைக் குறிக்கின்றன என்ற உண்மையை உள்ளடக்கியது.


In the light of the characterisation above, we can identify this object as the normal form of the expression, if we wish.

மேலே உள்ள பண்பின் வெளிச்சத்தில், நாம் விரும்பினால், இந்த பொருளை வெளிப்பாட்டின் இயல்பான வடிவமாக அடையாளம் காணலாம்.


In section 4.11 we introduced the rules of substitution which allow in- terconvertible expressions to be substituted for each other in derivations of judgements.

பிரிவு 4.11 இல், தீர்ப்புகளின் வழித்தோன்றல்களில் ஒன்றுக்கொன்று மாற்றக்கூடிய வெளிப்பாடுகளை ஒருவருக்கொருவர் மாற்ற அனுமதிக்கும் மாற்றீட்டு விதிகளை அறிமுகப்படுத்தினோம்.


This emphasizes the fact that judgements are intended to be about the objects denoted by the expressions, rather than the expressions themselves.

இந்த தீர்ப்புகள் வெளிப்பாடுகளால் குறிக்கப்படும் பொருள்களைப் பற்றியவை, வெளிப்பாடுகளைப் பற்றியவை அல்ல என்பதை வலியுறுத்துகிறது.


We shall come back to this important distinction below.

இந்த முக்கியமான வேறுபாட்டிற்கு கீழே வருவோம்.


Because ‘a↔↔b’ is not a proposition of the system, we are unable to build more complex assertions on the basis of it.

ஏனெனில் ‘a↔↔b’ என்பது அமைப்பின் ஒரு கூற்றல்ல, அதன் அடிப்படையில் மேலும் சிக்கலான கூற்றுகளை உருவாக்க முடியவில்லை.


To do this we turn to our third relation, the identity predicate.

இதைச் செய்ய, நாம் நமது மூன்றாவது உறவான அடையாள முன்னொட்டுக்கு வருகிறோம்.


As a primitive proposition (or type) forming operator we have theIoper- ation, forming a type thus: A is a type a:A b:A I(A, a, b)is a type (IF)

ஒரு ஆதி கூற்று (அல்லது வகை) உருவாக்கும் ஆபரேட்டராக, நாம் I ஆபரேஷனைப் பயன்படுத்துகிறோம், இதன் மூலம் ஒரு வகையை உருவாக்குகிறோம்: A ஒரு வகை a:A b:A I(A, a, b) ஒரு வகை (IF)


The type is also writtena= A bor evena=bwhen no confusion can result.

இந்த வகை a= A b அல்லது குழப்பம் ஏற்படாதபோது a=b என்றும் எழுதப்படுகிறது.


I(A, a, b) is provable, by the objectr(a), whena↔↔b, so we can see the type as an internalisation of convertibility.

I(A, a, b) என்பது பொருள் r(a) மூலம் நிரூபிக்கக்கூடியது, a↔↔b என்றால், எனவே இந்த வகையை மாற்றக்கூடிய தன்மையின் உள்மயமாக்கமாகக் காணலாம்.


On top of the Itype we can build more complex assertions, such as (∀x, y:A).((x= A y)⇒((f x) = B (g y))) wherefandgare functions of typeA⇒B.

I வகையின் மேல், (∀x, y:A).((x= A y)⇒((f x) = B (g y))) போன்ற மேலும் சிக்கலான கூற்றுகளை உருவாக்கலாம், இங்கு f மற்றும் g ஆகியவை A⇒B வகையின் செயல்பாடுகளாகும்.


Proof thatIis the internali- sation of ‘↔↔’ is given by the result Theorem 5.22For closedaandb, the judgementI(A, a, b) is derivable if and only ifa↔↔b.

I என்பது ‘↔↔’ இன் உள்மயமாக்கம் என்பதற்கான ஆதாரம், முடிவு தேற்றம் 5.22 மூலம் வழங்கப்படுகிறது. மூடிய a மற்றும் b க்காக, தீர்ப்பு I(A, a, b) என்பது a↔↔b ஆக இருந்தால் மட்டுமே பெறப்படும்.


The expressionx= A ydenotes a proposition or type of the system.

வெளிப்பாடு x= A y என்பது அமைப்பின் ஒரு கூற்று அல்லது வகையைக் குறிக்கிறது.


In order to test for identity in a computation we require a function or operation which returns not a type but rather a valueT rueorF alseof boolean type.

ஒரு கணக்கீட்டில் அடையாளத்தை சோதிக்க, நமக்கு ஒரு செயல்பாடு அல்லது செயல்பாடு தேவைப்படுகிறது, அது ஒரு வகையை அல்ல, ஆனால் பூலியன் வகையின் மதிப்புT rue அல்லது F alse ஐ வழங்குகிறது.


The Curry-Howard isomorphism is a fundamental concept in type theory.

கறி-ஹோவர்ட் ஐசோமார்பிசம் வகை கோட்பாட்டில் ஒரு அடிப்படை கருத்தாகும்.


Proofs and objects are identified in this system.

இந்த அமைப்பில் ஆதாரங்களும் பொருள்களும் அடையாளம் காணப்படுகின்றன.


Assumptions play a crucial role in the derivation of theorems.

தேற்றங்களை உருவாக்குவதில் அனுமானங்கள் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன.


The rule of implication introduction allows us to derive implications.

உள்ளடக்க அறிமுகத்தின் விதி, உள்ளடக்கங்களை உருவாக்க அனுமதிக்கிறது.


Named variables are essential for computational behavior.

கணக்கீட்டு நடத்தைக்கு பெயரிடப்பட்ட மாறிகள் அவசியம்.


The Curry-Howard isomorphism links propositions and types.

கறி-ஹோவர்ட் ஐசோமார்பிசம் கூற்றுகளையும் வகைகளையும் இணைக்கிறது.


Proof theorists study the general behavior of logical systems.

ஆதார கோட்பாட்டாளர்கள் தர்க்கரீதியான அமைப்புகளின் பொதுவான நடத்தையைப் படிக்கிறார்கள்.


We are interested in proofs of expressions that are not of ground type.

தரை வகையைச் சாராத வெளிப்பாடுகளின் ஆதாரங்களில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம்.


The normal form theorem is crucial for direct deductions.

நேரடி விலக்குகளுக்கு சாதாரண வடிவ தேற்றம் முக்கியமானது.


கணக்கீட்டு விதிகள் ஆதாரங்களை எளிதாக்குகின்றன.


Equivalence rules are also used for simplification.

சமமான விதிகள் எளிமைப்படுத்தவும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.


Commutation rules are included for technical reasons.

தொழில்நுட்ப காரணங்களுக்காக பரிமாற்ற விதிகள் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன.


The system of type theory can be used in various ways.

வகை கோட்பாட்டின் அமைப்பை பல்வேறு வழிகளில் பயன்படுத்தலாம்.


Type theory can be seen as a constructive logic.

வகை கோட்பாட்டை ஒரு ஆக்கபூர்வமான தர்க்கமாகப் பார்க்கலாம்.


Every expression in the language has a defined value.

மொழியில் உள்ள ஒவ்வொரு வெளிப்பாடும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது.


The system of types is more expressive than those in common use.

வகைகளின் அமைப்பு பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படுவதை விட அதிக வெளிப்பாட்டுத் திறன் கொண்டது.


Programs can be extracted from constructive proofs.

ஆக்கபூர்வமான ஆதாரங்களிலிருந்து நிரல்களைப் பிரித்தெடுக்கலாம்.


We can use the logical system to reason about programs.

நிரல்களைப் பற்றி சிந்திக்க தர்க்கரீதியான அமைப்பைப் பயன்படுத்தலாம்.


Imperative programs can be developed within a type-theoretic framework.

கட்டாய நிரல்களை ஒரு வகை-கோட்பாட்டு கட்டமைப்பிற்குள் உருவாக்கலாம்.


Primitive recursion is used to define functions and types.

செயல்பாடுகளையும் வகைகளையும் வரையறுக்க ஆரம்பநிலை மறுசுழற்சி பயன்படுத்தப்படுகிறது.


குறியீடு வரம்பை மீறினால்.


We define the function index to have the type.

நாம் index என்ற சார்பை வரையறுக்கிறோம்.


Given a list l, a natural number n, and a proof that n is smaller than the length of l we return the nth element of l.

ஒரு பட்டியல் l, ஒரு இயல் எண் n, மற்றும் n ஆனது l இன் நீளத்தை விட சிறியது என்பதற்கான ஆதாரம் கொடுக்கப்பட்டால், l இன் nவது உறுப்பைத் திருப்பி அனுப்புகிறோம்.


எப்படி index வரையறுக்கப்படுகிறது?


இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது பிரிவுகள் தெளிவாக உள்ளன.


முதலில் என்ன நடக்கிறது?


It is interesting to see that the definition of index can be made either by induction over N with a subsidiary induction over [A], or vice versa.

index இன் வரையறையை N மீது தூண்டல் மூலம் அல்லது [A] மீது துணை தூண்டல் மூலம் அல்லது நேர்மாறாகவும் செய்யலாம் என்பது சுவாரஸ்யமானது.


Now we can return to the example of course-of-values recursion, as we have defined all the auxiliary functions that are needed.

இப்போது நமக்குத் தேவையான அனைத்து துணைச் சார்புகளையும் வரையறுத்துள்ளதால், மதிப்புகளின் மறுபடியும் நிகழும் உதாரணத்திற்குத் திரும்பலாம்.


Taking a special case of the power function, we have pow0≡ df 1.

பவர் செயல்பாட்டின் ஒரு சிறப்பு வழக்கைப் பயன்படுத்துகையில், pow0≡ df 1 உள்ளது.


Transforming this into a list definition, we have g0≡ df [1].

இதை ஒரு பட்டியல் வரையறையாக மாற்றினால், g0≡ df [1] உள்ளது.


The subexpression g! (n+1div2) is informal.

துணை வெளிப்பாடு g! (n+1div2) முறைசாராதது.


The application will be legitimate if we can show that (n+1div2)<#(g n).

(n+1div2)<#(g n) என்பதை நாம் காட்ட முடிந்தால், பயன்பாடு சட்டபூர்வமானதாக இருக்கும்.


This will follow from proofs of (0< m)⇒(m div2< m) which is standard, and #(g n) = (n+ 1)(6.1) which we have to establish by induction, simultaneously with the definition itself.

(0< m)⇒(m div2< m) என்பதற்கான ஆதாரங்களில் இருந்து இது பின்பற்றப்படும், இது நிலையானது, மேலும் #(g n) = (n+ 1)(6.1) என்பதை நாம் தூண்டல் மூலம் நிறுவ வேண்டும், வரையறையுடன் ஒரே நேரத்தில்.


Transforming again, we define a function which returns a pair (g n , p n ) where p n proves the assertion (6.1).

மீண்டும் மாற்றியமைத்தால், (g n , p n ) என்ற ஜோடியை வழங்கும் ஒரு செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறோம், அங்கு p n கூற்றை நிரூபிக்கிறது (6.1).


To extract the result (f n) from the value (g n) we apply the head function.

(g n) மதிப்பிலிருந்து (f n) முடிவை எடுக்க, நாம் தலை செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம்.


Remember that to do this we need a proof that the list is non-empty.

இதைச் செய்ய, பட்டியல் காலியாக இல்லை என்பதை நிரூபிக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.


We can see from the derivation of the function above that the system is quite different from a traditional functional programming system, in that the definition of a function cannot be separated from a proof that it terminates.

மேலே உள்ள செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலில் இருந்து, ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறையை அது முடிவடைகிறது என்பதற்கான ஆதாரத்திலிருந்து பிரிக்க முடியாது என்பதால், இந்த அமைப்பு ஒரு பாரம்பரிய செயல்பாட்டு நிரலாக்க அமைப்பிலிருந்து முற்றிலும் வேறுபட்டது என்பதை நாம் காணலாம்.


Using induction over m:N prove that (m div2)< m for all m >0.

m:N மீது தூண்டலைப் பயன்படுத்தி, அனைத்து m >0 க்கும் (m div2)< m என்பதை நிரூபிக்கவும்.


How would you argue that this is definable in type theory?

இது வகை கோட்பாட்டில் வரையறுக்கக்கூடியது என்று நீங்கள் எப்படி வாதிடுவீர்கள்?


This section surveys the general area of sorting numerical lists and gives a complete development and verification of the quicksort function over these lists.

இந்த பிரிவு எண் பட்டியல்களை வரிசைப்படுத்தும் பொதுவான பகுதியை ஆய்வு செய்கிறது மற்றும் இந்த பட்டியல்களில் quicksort செயல்பாட்டின் முழுமையான வளர்ச்சி மற்றும் சரிபார்ப்பை வழங்குகிறது.


Consider a type like (∃A:U 0 ). P(A) What do objects of this type look like?

(∃A:U 0 ). P(A) போன்ற ஒரு வகையை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். இந்த வகையின் பொருள்கள் எப்படி இருக்கும்?


They are pairs (A, p) of objects, A:U 0 andp:P(A) 178CHAPTER 5. EXPLORING TYPE THEORY Ais a (small) type, andpis a proof that it has the propertyP(A).

அவை பொருள்களின் ஜோடிகளாகும் (A, p), A:U 0 மற்றும் p:P(A) 178அத்தியாயம் 5. வகை கோட்பாட்டை ஆராய்தல் A என்பது ஒரு (சிறிய) வகை, மற்றும் p என்பது P(A) என்ற சொத்தை அது கொண்டுள்ளது என்பதற்கான ஒரு சான்றாகும்.


Suppose we have definedP(A) to be (A⇒A)∧(A⇒A) then an object of the existential type will be a typeAtogether with p: (A⇒A)∧(A⇒A) that is a pair of functions fromAto itself.

P(A) ஐ (A⇒A)∧(A⇒A) என வரையறுத்துள்ளோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம், அப்படியென்றால், இருப்பு வகையின் ஒரு பொருள், A என்ற வகையுடன் p: (A⇒A)∧(A⇒A) ஆக இருக்கும், அதாவது A இலிருந்து தனக்குத்தானே செல்லும் செயல்பாடுகளின் ஒரு ஜோடி.


An object of this type is equiv- alent to an implementation of an abstract type, with signature (written in Miranda notation) abstype A with f1 :: A -> A f2 :: A -> A wheref1andf2are the first and second projections ofp, of course.

இந்த வகையின் ஒரு பொருள், ஒரு சுருக்கமான வகையின் செயல்படுத்தலுக்குச் சமமானதாகும், கையொப்பத்துடன் (மிராண்டா குறியீட்டில் எழுதப்பட்டது) abstype A with f1 :: A -> A f2 :: A -> A இதில் f1 மற்றும் f2 ஆகியவை p இன் முதல் மற்றும் இரண்டாவது ப்ரொஜெக்ஷன்களாகும்.


We shall have more to say about quantified types in the following chap- ter, where we look at a series of examples.

அடுத்த அத்தியாயத்தில் அளவிடப்பட்ட வகைகளைப் பற்றி மேலும் கூறுவோம், அங்கு பல எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.


The usual way that we characterise the members of a type is by a pair of rules: the introduction rule explains what objects are permitted to be ele- ments of the type, and the elimination rule (together with the computation rule) characterises these elements as theonlyelements of the type.

ஒரு வகையின் உறுப்பினர்களை நாம் வகைப்படுத்தும் வழக்கமான வழி, இரண்டு விதிகளின் மூலம்: அறிமுக விதி, எந்தெந்த பொருள்கள் வகையின் உறுப்புகளாக அனுமதிக்கப்படுகின்றன என்பதை விளக்குகிறது, மேலும் நீக்குதல் விதி (கணக்கீட்டு விதியுடன் சேர்த்து) இந்த உறுப்புகளை வகையின் ஒரே உறுப்புகளாக வகைப்படுத்துகிறது.


We could call the latter rules theclosureaxioms for the type.

பிந்தைய விதிகளை வகைக்குரிய மூடல் கருதுகோள்கள் என்று அழைக்கலாம்.


It is the closure axioms for a typeAwhich allow us to prove properties for all elements of A, and to define functions by recursion overA.

A என்ற வகைக்குரிய மூடல் கருதுகோள்கள், A இன் அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் பண்புகளை நிரூபிக்கவும், A மீது மறுபடியும் செயல்பாடுகளை வரையறுக்கவும் அனுமதிக்கின்றன.


The rules we have given for universes correspond to introduction rules; if we wish to define functions by recursion over the universe we need a closure axiom to that effect.

நாம் பிரபஞ்சங்களுக்காகக் கொடுத்த விதிகள் அறிமுக விதிகளுக்கு ஒத்திருக்கின்றன; பிரபஞ்சத்தின் மீது மறுபடியும் செயல்பாடுகளை வரையறுக்க விரும்பினால், அதற்கு ஒரு மூடல் கருதுகோள் தேவை.


In Martin-L ̈of’s treatment of the system, these axioms have been omitted deliberately; for philosophical reasons he has chosen to make the universes open-ended, so that other type forming operations can be added to the system without violating the closure axioms.

மார்ட்டின்-லோஃப்பின் அமைப்பின் சிகிச்சையில், இந்த கருதுகோள்கள் வேண்டுமென்றே தவிர்க்கப்பட்டுள்ளன; தத்துவார்த்த காரணங்களுக்காக, அவர் பிரபஞ்சங்களை திறந்த நிலையில் வைத்திருக்கத் தேர்ந்தெடுத்துள்ளார், இதனால் மற்ற வகை உருவாக்கும் செயல்பாடுகளை மூடல் கருதுகோள்களை மீறாமல் கணினியில் சேர்க்க முடியும்.


The closure axioms permit us to define polymorphic functions which fail to be parametric ([Str67]).

மூடல் கருதுகோள்கள், அளவுரு அல்லாத பலவடிவ செயல்பாடுகளை வரையறுக்க அனுமதிக்கின்றன ([Str67]).


We could, for instance, define a function which was the identity function on all types butN, and which was the successor functionλn .(succ n) onN.

உதாரணமாக, N தவிர மற்ற எல்லா வகைகளிலும் அடையாளச் செயல்பாடாக இருக்கும் ஒரு செயல்பாட்டை நாம் வரையறுக்கலாம், மேலும் N இல் λn .(succ n) என்ற அடுத்தடுத்த செயல்பாடாக இருக்கும்.


This would have the type (∀A:U 0 ).(A⇒A) just as did the polymorphic identity function, which had a parametric def- inition — we did not perform any analysis on the type variableAin the definition of the identity function, it was simply aparameter.

இது (∀A:U 0 ).(A⇒A) என்ற வகையைக் கொண்டிருக்கும், பலவடிவ அடையாளச் செயல்பாட்டைப் போலவே, இது ஒரு அளவுரு வரையறையைக் கொண்டிருந்தது - அடையாளச் செயல்பாட்டின் வரையறையில் வகை மாறிய A இல் எந்த பகுப்பாய்வும் செய்யவில்லை, அது வெறுமனே ஒரு அளவுருவாக இருந்தது.


Why do we stop with a chain of universesU 0 , U 1 , . . ., when there are natural functions which cannot be defined in the system?

கணினியில் வரையறுக்க முடியாத இயல்பான செயல்பாடுகள் இருக்கும்போது, U 0, U 1, . . . போன்ற பிரபஞ்சங்களின் சங்கிலியுடன் நாம் ஏன் நிற்க வேண்டும்?


The obvious one which springs to mind is (λn:N). U n which clearly inhabits none of theU n .

நினைவுக்கு வரும் தெளிவான ஒன்று (λn:N). U n ஆகும், இது U n இல் எதிலும் தெளிவாக இல்லை.


To give this a type we need to add the firsttransfiniteuniverseU ω , which is itself a member ofU ω+1 , and so we can iterate through the constructive ordinals.

இதற்கு ஒரு வகையைக் கொடுக்க, முதல் டிரான்ஸ்ஃபைனைட் பிரபஞ்சம் U ω ஐச் சேர்க்க வேண்டும், இது U ω+1 இன் உறுப்பினராகும், எனவே நாம் ஆக்கபூர்வமான ஆர்டினல்களை மீண்டும் மீண்டும் செய்யலாம்.


Whether this extension is interesting, either proof theoretically or from the point of view of programming, is open to question, but the interested reader may wish to consult [And65] for a similar transfinite theory.

இந்த விரிவாக்கம், கோட்பாட்டளவில் அல்லது நிரலாக்கத்தின் பார்வையில், சுவாரஸ்யமானதா என்பது கேள்விக்குறியாக உள்ளது, ஆனால் ஆர்வமுள்ள வாசகர் [And65] ஐப் பார்த்து இதேபோன்ற டிரான்ஸ்ஃபைனைட் கோட்பாட்டைப் பற்றி தெரிந்து கொள்ளலாம்.


Another possible direction is to distinguish between the types which are sets, such asNandtree, and the propositions, and to try to extend the type theory with a type of propositions.

மற்றொரு சாத்தியமான திசை என்னவென்றால், N மற்றும் ட்ரீ போன்ற தொகுப்புகளாக இருக்கும் வகைகளையும், முன்மொழிவுகளையும் வேறுபடுத்துவது மற்றும் முன்மொழிவுகளின் வகையுடன் வகை கோட்பாட்டை விரிவுபடுத்த முயற்சிப்பது.


When we first introduced algebraic types in the previous chapter, section 4.9, we described what we meant by an algebraic type, and then introduced the rules for a particular type,tree, of binary trees.

முந்தைய அத்தியாயத்தில், பிரிவு 4.9 இல், இயற்கணித வகைகளை முதன்முதலில் அறிமுகப்படுத்தியபோது, ஒரு இயற்கணித வகை என்றால் என்ன என்பதை விவரித்தோம், பின்னர் இரும மரங்களின் ஒரு குறிப்பிட்ட வகை, ட்ரீக்கான விதிகளை அறிமுகப்படுத்தினோம்.


A list is either empty, [ ], or can be thought of as having a first element, orhead,aand a remainder, ortail,x.

ஒரு பட்டியல் காலியாக இருக்கலாம், [ ], அல்லது முதல் உறுப்பு, அல்லது தலை, a மற்றும் மீதமுள்ளவை, அல்லது வால், x ஆகியவற்றைக் கொண்டிருப்பதாகக் கருதலாம்.


If the object does not represent a proof, it is not a proof.

ஒரு பொருள் ஆதாரத்தை பிரதிபலிக்கவில்லை என்றால், அது ஒரு ஆதாரம் அல்ல.


இதேபோன்ற பகுப்பாய்வு ConjE 2 க்குப் பொருந்தும்.


ImpI p is a proof of the formula (Imp g f), if p is a proof of f.

p என்பது f இன் ஆதாரம் என்றால், ImpI p என்பது (Imp g f) சூத்திரத்தின் ஆதாரம் ஆகும்.


If not, the object does not represent a proof.

இல்லையென்றால், பொருள் ஆதாரத்தை பிரதிபலிக்கவில்லை.


Some applications of the constructors do not produce proofs.

கட்டுனர்களின் சில பயன்பாடுகள் ஆதாரங்களை உருவாக்காது.


We can use the dependent type mechanism to make proof construction secure.

ஆதார கட்டமைப்பை பாதுகாப்பாக உருவாக்க, நாம் சார்ந்த வகை வழிமுறையைப் பயன்படுத்தலாம்.


First we define a function proves:proof⇒(f mla+dummy).

முதலில், நாம் ஒரு செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறோம்: நிரூபிக்கிறது: ஆதாரம்⇒(f mla+dummy).


Then we define the subtypes prf f≡ df (∃p:proof).(proves p=f).

பின்னர் நாம் துணை வகைகளை வரையறுக்கிறோம் prf f≡ df (∃p:ஆதாரம்).(நிரூபிக்கிறது p=f).


Using these we can give types to the functions which eliminate conjunctions.

இவற்றை பயன்படுத்தி, இணைப்புகளை நீக்கும் செயல்பாடுகளுக்கு வகைகளை வழங்கலாம்.


The essential effect of the functions conjE and impE is to apply the corresponding constructor.

conjE மற்றும் impE செயல்பாடுகளின் அத்தியாவசிய விளைவு தொடர்புடைய கட்டுனரைப் பயன்படுத்துவதாகும்.


We know that their application is only permitted when it will take legitimate proofs into a legitimate proof.

அவற்றின் பயன்பாடு, சட்டப்பூர்வ ஆதாரங்களை சட்டப்பூர்வ ஆதாரமாக மாற்றும் போது மட்டுமே அனுமதிக்கப்படும் என்பதை நாம் அறிவோம்.


We can define functions tr, conjI and impI corresponding to the action of the constructors Tr, ConjI and ImpI.

கட்டுனர்கள் Tr, ConjI மற்றும் ImpI ஆகியவற்றின் செயலுக்கு ஒத்த tr, conjI மற்றும் impI செயல்பாடுகளை நாம் வரையறுக்கலாம்.


The typesecproof will only contain legitimate proofs.

வகையைச் சேர்ந்த secproof ஆனது சட்டப்பூர்வ ஆதாரங்களை மட்டுமே கொண்டிருக்கும்.


Give definitions of the functions proves, conjE 1 and impE introduced above.

மேலே அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட நிரூபிக்கிறது, conjE 1 மற்றும் impE ஆகிய செயல்பாடுகளின் வரையறைகளை வழங்கவும்.


Give types for and then define the functions tr, conjI and impI.

வகைகளை வழங்கி, tr, conjI மற்றும் impI ஆகிய செயல்பாடுகளை வரையறுக்கவும்.


Prove that the type secproof contains only legitimate proofs, and that all such proofs are contained therein.

secproof வகை சட்டப்பூர்வ ஆதாரங்களை மட்டுமே கொண்டுள்ளது மற்றும் அத்தகைய அனைத்து ஆதாரங்களும் அதில் உள்ளன என்பதை நிரூபிக்கவும்.


Quantification over a universe can be used to define weak versions of various familiar type constructors.

ஒரு பிரபஞ்சத்தின் மீதான அளவுமயமாக்கல் பல்வேறு தெரிந்த வகை கட்டுனர்களின் பலவீனமான பதிப்புகளை வரையறுக்கப் பயன்படும்.


For example, the type P rod A B≡ df (∀C:U 0 ).((A⇒B⇒C)⇒C) resembles the product of the types A and B.

உதாரணமாக, P rod A B≡ df (∀C:U 0 ).((A⇒B⇒C)⇒C) வகை A மற்றும் B வகைகளின் உற்பத்தியை ஒத்திருக்கிறது.


Given elements a:A and b:B we can define F a,b :P rod A B.

உறுப்புகள் a:A மற்றும் b:B கொடுக்கப்பட்டால், நாம் F a,b :P rod A B ஐ வரையறுக்கலாம்.


This shows that the function F a,b can be thought of as representing the pair formed from a and b.

இது F a,b செயல்பாடு a மற்றும் b இலிருந்து உருவாக்கப்பட்ட ஜோடியை பிரதிபலிக்கிறது என்று கருதலாம் என்பதைக் காட்டுகிறது.


The function is tail recursive if its definition takes a specific form.

ஒரு சார்பு அதன் வரையறை ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவத்தை எடுத்தால், அது வால் மறுசுழற்சி ஆகும்.


These functions are called tail recursive since the only recursive calls are in the tail of the code.

இந்தச் சார்புகள் வால் மறுசுழற்சி என்று அழைக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் ஒரே மறுசுழற்சி அழைப்புகள் குறியீட்டின் வாலைச் சேர்ந்தவை.


Why should these functions be identified with imperative programs?

ஏன் இந்தச் சார்புகளை கட்டாய நிரல்களுடன் அடையாளம் காண வேண்டும்?


If the condition is true, we make a recursive call.

நிபந்தனை உண்மையாக இருந்தால், நாம் ஒரு மறுசுழற்சி அழைப்பை மேற்கொள்கிறோம்.


நாம் இணையான ஒதுக்கீட்டைச் செய்கிறோம்.


இது ஒரு தனிமைப்படுத்தப்பட்ட நிகழ்வு அல்ல.


Every primitive recursive function can be given a tail recursive definition.

ஒவ்வொரு தொடக்கநிலை மறுசுழற்சி சார்புக்கும் வால் மறுசுழற்சி வரையறையை வழங்க முடியும்.


The idea of the transformation is that the last argument starts off at c.

மாற்றத்தின் யோசனை என்னவென்றால், கடைசி வாதம் c இல் தொடங்குகிறது.


The result is a corollary of the following theorem.

இதன் விளைவாக பின்வரும் தேற்றத்தின் ஒரு துணைவிளைவு ஆகும்.


The proof is by induction over the difference.

இந்த ஆதாரம் வேறுபாட்டின் மீது தூண்டல் மூலம் உள்ளது.


அடிப்படை வழக்கு n-m = 0 ஆகும்.


At the induction step, suppose that n-m = p+1.

தூண்டல் படியில், n-m = p+1 என்று வைத்துக்கொள்வோம்.


The corollary justifies the transformation of any primitive recursive function.

இந்த துணைவிளைவு எந்தவொரு தொடக்கநிலை மறுசுழற்சி சார்பையும் மாற்றுவதை நியாயப்படுத்துகிறது.


Note that the first three arguments are not modified in the recursive calls.

முதல் மூன்று வாதங்கள் மறுசுழற்சி அழைப்புகளில் மாற்றப்படவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க.


We can prove similar theorems for the other recursion operators.

மற்ற மறுசுழற்சி ஆபரேட்டர்களுக்கும் இதேபோன்ற தேற்றங்களை நிரூபிக்க முடியும்.


In the case that it cannot, other coding techniques can be found.

முடியாத நிலையில், மற்ற குறியீட்டு நுட்பங்களைக் காணலாம்.


If we take any imperative program there will be a functional form for it.

நாம் எந்த கட்டாய நிரலையும் எடுத்துக் கொண்டால், அதற்கு ஒரு செயல்பாட்டு வடிவம் இருக்கும்.


However that tail recursion may not be formalizable.

இருப்பினும், அந்த வால் மறுசுழற்சியை முறைப்படுத்த முடியாது.


Give tail recursive forms of the recursion operators over lists and trees.

பட்டியல்கள் மற்றும் மரங்களின் மீதான மறுசுழற்சி ஆபரேட்டர்களின் வால் மறுசுழற்சி வடிவங்களைக் கொடுங்கள்.


Comment on the space efficiency of the tail recursive form of the factorial function.

காரணி சார்பின் வால் மறுசுழற்சி வடிவத்தின் இட செயல்திறனைப் பற்றி கருத்துத் தெரிவிக்கவும்.


The logic is typed, this minimum of type information must be retained.

தர்க்கம் தட்டச்சு செய்யப்பட்டுள்ளது, இந்த குறைந்தபட்ச வகை தகவல் தக்கவைக்கப்பட வேண்டும்.


An example of a ‘proof-less’ derivation of (∀x:A).(∃y:B). P from (∃y:B).(∀x:A). P follows.

(∀x:A).(∃y:B). P என்பதற்கான ‘ஆதாரமற்ற’ வழித்தோன்றலின் உதாரணம் (∃y:B).(∀x:A). P பின்வருமாறு.


We can extend this proof-less derivation to results involving data types like the natural numbers.

இயற்கை எண்களைப் போன்ற தரவு வகைகளை உள்ளடக்கிய முடிவுகளுக்கு இந்த ஆதாரமற்ற வழித்தோன்றலை நாம் விரிவாக்கலாம்.


We first have to derive (0<1) which is a special case of (0< n+ 1), which is itself trivially derivable.

முதலில் (0<1) ஐப் பெற வேண்டும், இது (0< n+ 1) இன் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, இது எளிதில் பெறக்கூடியது.


The problem, baldly stated, is this: given a sequence of items which are either red or white, return a permuted sequence in which all the red items precede the white.

பிரச்சனை என்னவென்றால்: சிவப்பு அல்லது வெள்ளை நிறத்தில் உள்ள உருப்படிகளின் வரிசையைத் தந்தால், சிவப்பு உருப்படிகள் அனைத்தும் வெள்ளை நிறத்திற்கு முன்னால் வரும் வகையில் வரிசையை மாற்றியமைக்க வேண்டும்.


Our approach differs from that in [NPS90] in two ways.

[NPS90] இல் உள்ள அணுகுமுறையிலிருந்து எங்கள் அணுகுமுறை இரண்டு வழிகளில் வேறுபடுகிறது.


We also use an ‘equational’ notation which is closer to that in use in the majority of functional programming languages.

பெரும்பாலான செயல்முறை நிரலாக்க மொழிகளில் பயன்படுத்தப்படும் ‘சமன்பாட்டு’ குறியீட்டையும் நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம்.


We assume that the colours are represented by the boolean type, bool (which we shall abbreviate C, for colour), with the value True representing the colour red.

நிறங்கள் பூலியன் வகையால் குறிக்கப்படுகின்றன என்று கருதுகிறோம், bool (நிறத்திற்காக C என சுருக்கமாகக் கூறுவோம்), True என்ற மதிப்பு சிவப்பு நிறத்தைக் குறிக்கிறது.


What we seek is, in fact, a function which returns the pair of lists (l ′ , l ′′ ) corresponding to each l, so we modify the specification to read

உண்மையில், நாம் தேடுவது ஒவ்வொரு l க்கும் தொடர்புடைய பட்டியல்களின் ஜோடியை (l ′ , l ′′ ) வழங்கும் ஒரு செயல்பாடு ஆகும், எனவே விவரக்குறிப்பை மாற்றியமைக்கிறோம்.


This pair consists precisely of the function required together with a proof that is has the property required of it.

இந்த ஜோடிக்குத் தேவையான செயல்பாடு மற்றும் அதற்குத் தேவையான சொத்து உள்ளது என்பதற்கான ஆதாரம் ஆகியவை துல்லியமாக உள்ளன.


We can prove the statement by giving a term f and proving the formula 6.7.

ஒரு சொல் f ஐக் கொடுத்து, சூத்திரம் 6.7 ஐ நிரூபிப்பதன் மூலம் நாம் கூற்றை நிரூபிக்க முடியும்.


This method corresponds to traditional program development in a functional programming language.

இந்த முறை ஒரு செயல்முறை நிரலாக்க மொழியில் பாரம்பரிய நிரல் வளர்ச்சிக்கு ஒத்திருக்கிறது.


Alternatively, we can develop the proof from the top down, reducing the existential statement 6.6 to 6.5.

மாற்றாக, நாம் ஆதாரத்தை மேலிருந்து கீழாக உருவாக்கலாம், இருத்தலியல் கூற்று 6.6 ஐ 6.5 ஆகக் குறைக்கலாம்.


We prove the result by induction over the list l.

பட்டியல் l மீது தூண்டல் மூலம் முடிவை நிரூபிக்கிறோம்.


It is immediate that the types allRed[ ] and allWhite[ ] are inhabited.

allRed[ ] மற்றும் allWhite[ ] வகைகள் உள்ளன என்பது உடனடியாகத் தெரிகிறது.


Also [ ] ++ [ ]≡[ ] and as perm is reflexive (see lemma 6.2, part 12) we have perm l(l ′ ++l ′′ ) is inhabited.

மேலும் [ ] ++ [ ]≡[ ] மற்றும் perm பிரதிபலிப்பு (lemma 6.2, பகுதி 12 ஐப் பார்க்கவும்) perm l(l ′ ++l ′′ ) உள்ளது.


In a similar way if we assume cs r :isRed a then we can find p r ≡ df ( ((a::l ′ ), l ′′ ), q r ) :P(a::m)

இதேபோல், cs r :isRed a என்று கருதினால், p r ≡ df ( ((a::l ′ ), l ′′ ), q r ) :P(a::m) ஐக் காணலாம்.


We have so far seen a number of approaches to program construction in type theory.

வகை கோட்பாட்டில் நிரல் கட்டுமானத்திற்கான பல அணுகுமுறைகளை இதுவரை பார்த்துள்ளோம்.


The essence of program transformation is to take a program into another with the same applicative behaviour, yet improved in some aspect like time efficiency or space usage.

நிரல் மாற்றத்தின் சாராம்சம் என்னவென்றால், ஒரு நிரலை அதே பயன்பாட்டு நடத்தை கொண்ட மற்றொரு நிரலுக்கு மாற்றுவதாகும், ஆனால் நேர திறன் அல்லது இடத்தைப் பயன்படுத்துதல் போன்ற சில அம்சங்களில் மேம்படுத்தப்பட்டுள்ளது.


Two functions have the same behaviour when they return the same results for all arguments, when they are extensionally equal, in other words.

இரண்டு செயல்பாடுகளும் அனைத்து வாதங்களுக்கும் ஒரே முடிவுகளைத் தரும்போது, அவை வெளிப்புறமாக சமமாக இருக்கும்போது, வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரே மாதிரியான நடத்தையைக் கொண்டுள்ளன.


இன்று வானிலை நன்றாக உள்ளது.


உப்பு கொஞ்சம் கொடுங்களேன்.


I am going to the market to buy some vegetables.

நான் காய்கறிகள் வாங்க கடைக்கு செல்கிறேன்.


The company announced a new product launch.

நிறுவனம் ஒரு புதிய தயாரிப்பு வெளியீட்டை அறிவித்தது.


அவர் மிகவும் திறமையான இசைக்கலைஞர்.


அடுத்த வாரம் மாநாடு நடைபெறும்.


Please submit your application before the deadline.

கடைசி தேதிக்கு முன் உங்கள் விண்ணப்பத்தை சமர்ப்பிக்கவும்.


The algorithm efficiently sorts the data.

அல்காரிதம் தரவை திறமையாக வரிசைப்படுத்துகிறது.


அவள் தேர்வுக்கு படித்துக் கொண்டிருக்கிறாள்.


The government is implementing new policies.

அரசாங்கம் புதிய கொள்கைகளை அமல்படுத்துகிறது.


The research paper presents novel findings.

ஆராய்ச்சி கட்டுரை புதிய கண்டுபிடிப்புகளை முன்வைக்கிறது.


Could you explain this concept in simpler terms?

இந்த கருத்தை எளிமையான வார்த்தைகளில் விளக்க முடியுமா?


The project requires a significant investment.

இந்த திட்டத்திற்கு கணிசமான முதலீடு தேவைப்படுகிறது.


The company's profits increased significantly this quarter.

நிறுவனத்தின் லாபம் இந்த காலாண்டில் கணிசமாக அதிகரித்துள்ளது.


The data analysis revealed some interesting patterns.

தரவு பகுப்பாய்வு சில சுவாரஸ்யமான வடிவங்களை வெளிப்படுத்தியது.


கலைஞரின் படைப்பு மிகவும் பாராட்டப்பட்டது.


The new technology has revolutionized the industry.

புதிய தொழில்நுட்பம் தொழில்துறையில் புரட்சியை ஏற்படுத்தியுள்ளது.


The meeting was adjourned due to lack of quorum.

குறைந்தபட்ச உறுப்பினர்கள் இல்லாததால் கூட்டம் ஒத்திவைக்கப்பட்டது.


The economic forecast predicts a slowdown.

பொருளாதார முன்னறிவிப்பு மந்தநிலையை முன்னறிவிக்கிறது.


The complex mathematical equation was difficult to solve.

சிக்கலான கணித சமன்பாட்டை தீர்ப்பது கடினமாக இருந்தது.


In such a situation, if an argument k is computationally irrelevant, then its evaluation will degrade the efficiency of the program.

அத்தகைய சூழ்நிலையில், ஒரு வாதம் k கணக்கீட்டு ரீதியாக பொருத்தமற்றதாக இருந்தால், அதன் மதிப்பீடு நிரலின் செயல்திறனை குறைக்கும்.


The alternative, of normal order evaluation is to begin evaluation of the whole expression, prior to argument evaluation.

மாறாக, இயல்பான வரிசை மதிப்பீடு என்பது முழு வெளிப்பாட்டையும் மதிப்பீடு செய்யத் தொடங்குவதாகும், வாத மதிப்பீட்டிற்கு முன்.


Definition 7.1 Evaluation in which we always choose the leftmost outermost redex is called normal order evaluation.

வரையறை 7.1 நாம் எப்போதும் இடதுபுறத்தில் உள்ள வெளிப்புற ரெட்ஸை தேர்ந்தெடுக்கும் மதிப்பீடு சாதாரண வரிசை மதிப்பீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.


If in addition we ensure that no redex is evaluated more than once we call the evaluation lazy.

கூடுதலாக, எந்த ரெட்ஸும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முறை மதிப்பிடப்படவில்லை என்பதை உறுதிசெய்தால், மதிப்பீட்டை சோம்பேறி என்று அழைக்கிறோம்.


In a language with structured data such as pairs and lists, there is a further clause to the definition.

ஜோடி மற்றும் பட்டியல்கள் போன்ற கட்டமைக்கப்பட்ட தரவுகளுடன் கூடிய மொழியில், வரையறைக்கு ஒரு கூடுதல் பிரிவு உள்ளது.


This will usually imply that it is evaluated to weak head normal form.

இது பொதுவாக பலவீனமான தலை இயல்பான வடிவத்திற்கு மதிப்பிடப்படுகிறது என்று பொருள்.


Recent research has shown that efficient lazy implementations of functional languages like Miranda are feasible.

சமீபத்திய ஆராய்ச்சியில் மிராண்டா போன்ற செயல்பாட்டு மொழிகளின் திறமையான சோம்பேறி செயலாக்கங்கள் சாத்தியமாகும் என்று காட்டப்பட்டுள்ளது.


Under lazy evaluation computationally irrelevant objects or components of structured objects will simply be ignored.

சோம்பேறி மதிப்பீட்டின் கீழ் கணக்கீட்டு ரீதியாக பொருத்தமற்ற பொருள்கள் அல்லது கட்டமைக்கப்பட்ட பொருட்களின் கூறுகள் வெறுமனே புறக்கணிக்கப்படும்.


Indeed, it can be argued that the proper definition of computational relevance would be that which chose just that portion of an expression which is used in calculating a result under a lazy evaluation discipline.

உண்மையில், கணக்கீட்டுப் பொருத்தத்தின் சரியான வரையறை, சோம்பேறி மதிப்பீட்டு ஒழுக்கத்தின் கீழ் ஒரு முடிவைக் கணக்கிடுவதில் பயன்படுத்தப்படும் வெளிப்பாட்டின் அந்த பகுதியைத் தேர்ந்தெடுப்பதாக வாதிடலாம்.


There is another possible approach to computational relevance, and that involves an examination of the different forms that types can take.

கணக்கீட்டுப் பொருத்தத்திற்கு மற்றொரு சாத்தியமான அணுகுமுறை உள்ளது, மேலும் இது வகைகளை எடுக்கக்கூடிய வெவ்வேறு வடிவங்களை ஆராய்வதை உள்ளடக்கியது.


Since there are no closed normal forms in ⊥ and there is only the trivial T, computation of objects of these types will never be important.

⊥ இல் மூடப்பட்ட இயல்பான வடிவங்கள் இல்லாததாலும், சாதாரண T மட்டுமே இருப்பதாலும், இந்த வகைகளின் பொருள்களின் கணக்கீடு ஒருபோதும் முக்கியமல்ல.


What is of importance is whether the type is inhabited or not in any particular case.

எந்தவொரு குறிப்பிட்ட விஷயத்திலும் வகை குடியிருக்கிறதா இல்லையா என்பதுதான் முக்கியம்.


This is exactly the role played by these types in the definition of the head function hd.

ஹெட் செயல்பாடு hd இன் வரையறையில் இந்த வகைகள் வகிக்கும் பங்கு இதுதான்.


An application of hd to a list l is only possible if we can pair l with a proof p that l is nonempty.

ஒரு பட்டியல் l க்கு hd ஐப் பயன்படுத்துவது, l காலியாக இல்லை என்பதற்கான ஆதாரம் p உடன் l ஐ இணைக்க முடிந்தால் மட்டுமே சாத்தியமாகும்.


It can be argued that this sort of computational irrelevance is preserved when combinations are taken using the connectives ∧, ⇒ and ∀.

இணைப்பிகள் ∧, ⇒ மற்றும் ∀ ஐப் பயன்படுத்தி சேர்க்கைகள் எடுக்கும்போது இந்த வகையான கணக்கீட்டுப் பொருத்தமின்மை பாதுகாக்கப்படுவதாக வாதிடலாம்.


A different perspective on the topic in the context of the extensional theory is given in section 3.4.

விரிவாக்கக் கோட்பாட்டின் பின்னணியில் தலைப்பைப் பற்றிய ஒரு வித்தியாசமான கண்ணோட்டம் பிரிவு 3.4 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.


Compute the result of the expression hd((2 :: a), b) using the lazy evaluation strategy discussed above.

மேலே விவாதிக்கப்பட்ட சோம்பேறி மதிப்பீட்டு உத்தியைப் பயன்படுத்தி வெளிப்பாடு hd((2 :: a), b) இன் முடிவைக் கணக்கிடுங்கள்.


Discuss why combination of formulas by the connectives ∧, ⇒ and ∀ should preserve computational irrelevance.

ஏன் இணைப்பிகள் ∧, ⇒ மற்றும் ∀ மூலம் சூத்திரங்களின் சேர்க்கை கணக்கீட்டுப் பொருத்தமின்மையைப் பாதுகாக்க வேண்டும் என்பதைப் பற்றி விவாதிக்கவும்.


Examine the examples of the previous chapter to find cases of computational irrelevance.

கணக்கீட்டுப் பொருத்தமின்மையின் நிகழ்வுகளைக் கண்டறிய முந்தைய அத்தியாயத்தின் எடுத்துக்காட்டுகளை ஆராயுங்கள்.


How should we represent the collection of objects of type A with the property B?

பண்பு B உடன் A வகையின் பொருள்களின் தொகுப்பை நாம் எவ்வாறு பிரதிநிதித்துவப்படுத்த வேண்டும்?


பூனை பாயில் அமர்ந்திருந்தது.


தயவுசெய்து கதவை மூடுங்கள்.


இன்று வானிலை மிகவும் இனிமையாக உள்ளது.


நான் சந்தைக்குப் போகிறேன்.


உங்களுக்குப் புரிகிறதா?


The company announced a new product launch.

நிறுவனம் ஒரு புதிய தயாரிப்பு வெளியீட்டை அறிவித்தது.


The government is implementing new policies.

அரசாங்கம் புதிய கொள்கைகளை அமல்படுத்துகிறது.


அவர் மிகவும் திறமையான இசைக்கலைஞர்.


The research team is working on a new project.

ஆராய்ச்சி குழு ஒரு புதிய திட்டத்தில் வேலை செய்கிறது.


அவள் பல்கலைக்கழகத்தில் படிக்கிறாள்.


The algorithm efficiently sorts the data.

அல்காரிதம் தரவை திறமையாக வரிசைப்படுத்துகிறது.


The economic forecast predicts a recession.

பொருளாதார முன்னறிவிப்பு ஒரு மந்தநிலையை முன்னறிவிக்கிறது.


The philosophical concept of free will is debated.

சுதந்திர விருப்பத்தின் தத்துவார்த்த கருத்து விவாதிக்கப்படுகிறது.


The quantum entanglement phenomenon is fascinating.

குவாண்டம் பிணைப்பு நிகழ்வு கவர்ச்சிகரமானது.


The implications of artificial intelligence are vast.

செயற்கை நுண்ணறிவின் தாக்கங்கள் மிகப்பெரியவை.


Could you please provide more details about the project?

தயவுசெய்து திட்டத்தைப் பற்றி மேலும் விவரங்களை வழங்க முடியுமா?


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

சவால்கள் இருந்தபோதிலும், அவர்கள் விடாமுயற்சியுடன் வெற்றி பெற்றனர்.


The company's innovative approach revolutionized the industry.

நிறுவனத்தின் புதுமையான அணுகுமுறை தொழில்துறையில் புரட்சியை ஏற்படுத்தியது.


The complex interplay of factors led to the crisis.

காரணிகளின் சிக்கலான தொடர்பு நெருக்கடிக்கு வழிவகுத்தது.


The development of sustainable energy sources is crucial for the future.

எதிர்காலத்திற்கு நிலையான எரிசக்தி ஆதாரங்களை உருவாக்குவது முக்கியம்.


சரிபார்ப்பு படிகள் பிரிக்கப்பட்டுள்ளன.


We did this above by a simple series of transformations.

மேலே, ஒரு எளிய தொடர் மாற்றங்கள் மூலம் இதைச் செய்தோம்.


In general, simply naming the function we aim to compute and writing the specification and derivation in terms of that function can achieve the desired effect.

பொதுவாக, நாம் கணக்கிட விரும்பும் செயல்பாட்டிற்குப் பெயரிட்டு, அந்தச் செயல்பாட்டின் அடிப்படையில் விவரக்குறிப்பு மற்றும் வழித்தோன்றலை எழுதுவது விரும்பிய விளைவை அடைய முடியும்.


This approach seems to achieve the separation between the logical and the computational to the appropriate degree, without introducing the subset type.

இந்த அணுகுமுறை, துணைக்குழு வகையை அறிமுகப்படுத்தாமல், தர்க்கரீதியான மற்றும் கணக்கீட்டுக்குரியவற்றுக்கு இடையே பொருத்தமான பிரிவினையை அடைய முடிகிறது.


We have found no example in the literature which is not amenable to this kind of treatment.

இந்த வகையான சிகிச்சைக்கு இணங்காத எந்த உதாரணத்தையும் நாங்கள் இலக்கியத்தில் காணவில்லை.


Using the subset type to represent a subset brings problems.

துணைக்குழுவை பிரதிநிதித்துவப்படுத்த துணைக்குழு வகையைப் பயன்படுத்துவது சிக்கல்களைக் கொண்டுவருகிறது.


As we saw in the previous section, it is not possible in general to recover the witnessing information from a subset type.

முந்தைய பகுதியில் பார்த்தது போல், பொதுவாக ஒரு துணைக்குழு வகையிலிருந்து சாட்சி தகவலை மீட்டெடுப்பது சாத்தியமில்லை.


Especially in an intensional system like TT, and so in these cases, the existential type should be used, retaining the witnessing information.

குறிப்பாக TT போன்ற ஒரு உள்ளுணர்வு அமைப்பில், இந்த நிகழ்வுகளில், சாட்சி தகவலைத் தக்கவைத்து, இருப்பு வகை பயன்படுத்தப்பட வேண்டும்.


An important tool for the programmer and the mathematician is the capability to define an equality relation over a class of objects.

நிரலாக்கர் மற்றும் கணிதவியலாளருக்கான ஒரு முக்கியமான கருவி, ஒரு பொருள்களின் வகுப்பில் சமத்துவ உறவை வரையறுக்கும் திறன் ஆகும்.


For instance in this account we stipulated that we would consider as the same two expressions which differ only in their bound variables.

உதாரணமாக, இந்த கணக்கில், கட்டுப்படுத்தப்பட்ட மாறிகளில் மட்டுமே வேறுபடும் இரண்டு வெளிப்பாடுகளை ஒரே மாதிரியாகக் கருதுவோம் என்று நாங்கள் குறிப்பிட்டோம்.


In a program we might choose to represent finite sets by finite lists, by taking as equal those lists which have the same elements, irrespective of their multiplicity or ordering.

ஒரு நிரலில், ஒரே உறுப்புகளைக் கொண்ட பட்டியல்களை சமமாக எடுத்துக் கொண்டு, அவற்றின் பெருக்கம் அல்லது வரிசையைப் பொருட்படுத்தாமல், வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளை வரையறுக்கப்பட்ட பட்டியல்களால் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த நாங்கள் தேர்வு செய்யலாம்.


In both cases we can be seen to define a new type by taking the quotient of a type by an equivalence relation.

இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும், ஒரு வகையை ஒரு சமமான உறவால் வகுப்பதன் மூலம் ஒரு புதிய வகையை வரையறுக்க முடியும்.


These types are a part of the Nuprl system.

இந்த வகைகள் நுப்ர்ல் அமைப்பின் ஒரு பகுதியாகும்.


We start with an exposition of the quotient type adapted to the context of TT, and then compare it with the congruence type.

TT இன் சூழலுக்கு ஏற்றவாறு மாற்றியமைக்கப்பட்ட ஈவு வகையின் விளக்கத்துடன் தொடங்குகிறோம், பின்னர் அதை இணக்க வகையுடன் ஒப்பிடுகிறோம்.


Because of the number of hypotheses in the following rule, we write them in a vertical list.

கீழ்க்காணும் விதியில் உள்ள கருதுகோள்களின் எண்ணிக்கை காரணமாக, அவற்றை ஒரு செங்குத்து பட்டியலில் எழுதுகிறோம்.


In forming the type, we have to verify that the predicate is an equivalence relation.

வகையை உருவாக்கும்போது, முன்னொட்டு ஒரு சமமான உறவு என்பதை நாம் சரிபார்க்க வேண்டும்.


The introduction rule breaks unicity of typing.

அறிமுக விதி தட்டச்சு செய்வதன் ஒருமைப்பாட்டை உடைக்கிறது.


If we define a function over a quotient type, then the value on equivalent elements has to be equal.

ஒரு ஈவு வகையின் மீது ஒரு செயல்பாட்டை நாம் வரையறுத்தால், சமமான கூறுகளின் மதிப்பு சமமாக இருக்க வேண்டும்.


There is no separate computation rule for the quotient type, but there is a rule indicating that equivalent elements are deemed to be equal.

ஈவு வகைக்கு தனி கணக்கீட்டு விதி இல்லை, ஆனால் சமமான கூறுகள் சமமாக கருதப்படுகின்றன என்பதைக் குறிக்கும் ஒரு விதி உள்ளது.


A typical example of a quotient type is that of the rationals, which can be represented by pairs (n, m) with n an integer and m a positive integer.

ஒரு ஈவு வகைக்கு ஒரு பொதுவான உதாரணம் விகிதமுறு எண்களாகும், இது (n, m) ஜோடிகளால் குறிக்கப்படலாம், இதில் n ஒரு முழு எண்ணாகவும், m ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணாகவும் இருக்கும்.


The theorem demonstrates a fundamental property of semigroups.

தேற்றம், அரைக்குழுக்களின் அடிப்படைப் பண்பை விளக்குகிறது.


If the identity element exists, it is unique.

அடையாள உறுப்பு இருந்தால், அது தனித்துவமானது.


The proof uses the associativity property of the operation.

இந்த நிறுவல் செயலின் சேர்ப்புப் பண்பைப் பயன்படுத்துகிறது.


அரைக்குழுக்கள் மூன்று உறுப்புகளாக வரையறுக்கப்படுகின்றன.


The system has the capability of giving temporary names to objects.

இந்த அமைப்பு, பொருட்களுக்கு தற்காலிக பெயர்களைக் கொடுக்கும் திறனைக் கொண்டுள்ளது.


The results depend upon repeatedly unpacking the triples.

இந்த முடிவுகள், மூன்று உறுப்புகளை மீண்டும் மீண்டும் பிரிப்பதில் தங்கியுள்ளன.


The axioms would take the form of formation rules.

அச்சுறுத்துதல்கள் உருவாக்கும் விதிகளின் வடிவத்தை எடுக்கும்.


The computation rules show that set, op and assoc behave as projections.

கணக்கீட்டு விதிகள், set, op மற்றும் assoc ஆகியவை ப்ரொஜெக்ஷன்களாக செயல்படுவதைக் காட்டுகின்றன.


We can prove results such as theorems 7.18 and 7.19 in a similar way.

நாம் இதே முறையில் தேற்றங்கள் 7.18 மற்றும் 7.19 போன்ற முடிவுகளை நிரூபிக்க முடியும்.


The positive effect of moving to rules is that we have access to a naming facility.

விதிகளுக்கு மாறுவதன் நேர்மறையான விளைவு என்னவென்றால், நமக்கு ஒரு பெயரிடும் வசதி கிடைக்கிறது.


This possible disruption of the formal properties of the system is something which might be said of all the additions of this chapter.

இந்த அமைப்பின் முறையான பண்புகளில் ஏற்படக்கூடிய சாத்தியமான இடையூறு, இந்த அத்தியாயத்தின் அனைத்து சேர்க்கைகளுக்கும் சொல்லக்கூடிய ஒன்று.


The chapter investigates questions about the mathematical foundations of the system.

இந்த அத்தியாயம், அமைப்பின் கணித அடித்தளங்கள் பற்றிய கேள்விகளை ஆராய்கிறது.


We can compare its strength with other formal systems for arithmetic.

கணிதத்திற்கான மற்ற முறையான அமைப்புகளுடன் இதன் வலிமையை ஒப்பிடலாம்.


The technique used here is that of realizability.

இங்கு பயன்படுத்தப்படும் நுட்பம், யதார்த்தத்தன்மை ஆகும்.


Realizability forms one sort of model of the formal system.

யதார்த்தத்தன்மை முறையான அமைப்பின் ஒரு மாதிரியை உருவாக்குகிறது.


We discuss the motivation for developing a model theory.

ஒரு மாதிரி கோட்பாட்டை உருவாக்குவதற்கான உந்துதலைப் பற்றி விவாதிக்கிறோம்.


The topic of realizability is interesting from the proof-theoretic point of view.

யதார்த்தத்தன்மை என்ற தலைப்பு, நிறுவல்-கோட்பாட்டுப் புள்ளியில் இருந்து சுவாரஸ்யமானது.


It provides a general mechanism for extracting the computational content of a derivation.

இது ஒரு வழித்தோன்றலின் கணக்கீட்டு உள்ளடக்கத்தை பிரித்தெடுப்பதற்கான ஒரு பொதுவான வழிமுறையை வழங்குகிறது.


We conclude the discussion with an overview of Schroeder-Heister and Dybjer’s work.

ஷிரோடர்-ஹெய்ஸ்டர் மற்றும் டிப்ஜரின் பணியின் ஒரு கண்ணோட்டத்துடன் விவாதத்தை முடிக்கிறோம்.


The inversion principle gives a formal description of how an introduction rule can be inverted.

தலைகீழ் கொள்கை, ஒரு அறிமுக விதியை எவ்வாறு தலைகீழாக மாற்றலாம் என்பதற்கான முறையான விளக்கத்தை அளிக்கிறது.


இந்த அமைப்பு ஒரு வகை கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறது.


This technique has found application in the implementation of functional programming languages.

இந்த நுட்பம் செயல்முறை நிரலாக்க மொழிகளை செயல்படுத்துவதில் பயன்பாட்டைக் கண்டறிந்துள்ளது.


The project was begun at Eindhoven University.

இந்த திட்டம் ஐந்தோவன் பல்கலைக்கழகத்தில் தொடங்கப்பட்டது.


The system is designed to support the top-down construction of derivations.

இந்த அமைப்பு வழித்தோன்றல்களின் மேல்-கீழ் கட்டுமானத்தை ஆதரிக்கும் வகையில் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது.


நுப்ராலின் முக்கியத்துவம் தர்க்கரீதியானது.


Proofs are constructed in a top-down way.

ஆதாரங்கள் மேல்-கீழ் முறையில் கட்டமைக்கப்படுகின்றன.


The logic is embedded in the ML metalanguage.

இந்த தர்க்கம் ML மெட்டாலங்குவேஜில் உட்பொதிக்கப்பட்டுள்ளது.


It features the strong elimination rules.

இது வலுவான நீக்குதல் விதிகளைக் கொண்டுள்ளது.


The system differed somewhat from the original.

இந்த அமைப்பு அசல் அமைப்பிலிருந்து சற்று வேறுபட்டது.


It is also augmented in a number of ways.

இது பல வழிகளில் விரிவாக்கப்பட்டுள்ளது.


The system includes subsets and quotient types.

இந்த அமைப்பு துணைக்குழுக்கள் மற்றும் ஈவு வகைகளை உள்ளடக்கியது.


Many of the additional constructs are introduced.

கூடுதல் கட்டமைப்புகள் பல அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளன.


This is in part due to the implicit nature of the proof objects.

இது ஒரு வகையில் ஆதாரப் பொருட்களின் மறைமுக இயல்பு காரணமாகும்.


The principle of complete presentation is central to type theory.

முழுமையான விளக்கத்தின் கொள்கை வகை கோட்பாட்டிற்கு மையமாக உள்ளது.


இந்த அமைப்பு இரண்டையும் பிரிக்க வேண்டும்.


Inductive constructions are performed along similar lines.

தூண்டல் கட்டுமானங்கள் இதே போன்ற வழிகளில் செய்யப்படுகின்றன.


A hierarchy of universes or kinds are also added.

பிரபஞ்சங்கள் அல்லது வகைகளின் படிநிலையும் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது.


Terms in the former theory can be partial.

முந்தைய கோட்பாட்டில் உள்ள சொற்கள் பகுதியாக இருக்கலாம்.


Reasoning about the sets is performed in a rich logical language.

தொகுப்புகளைப் பற்றிய தர்க்கரீதியான வாதம் ஒரு பணக்கார தர்க்க மொழியில் செய்யப்படுகிறது.


Programs can be extracted from constructive proofs.

கட்டுமான ஆதாரங்களிலிருந்து நிரல்களைப் பிரித்தெடுக்க முடியும்.


The theory of constructions is a complex topic.

கட்டுமானங்களின் கோட்பாடு ஒரு சிக்கலான தலைப்பு.


Type theory is used in functional programming.

வகை கோட்பாடு செயல்பாட்டு நிரலாக்கத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.


I hope the reader can share my enthusiasm.

வாசகர் எனது ஆர்வத்தைப் பகிர்ந்து கொள்வார் என்று நம்புகிறேன்.


The core of the system is sound and elegant.

அமைப்பின் மையமானது சரியானது மற்றும் நேர்த்தியானது.


Functional languages offer a much brighter prospect.

செயல்பாட்டு மொழிகள் மிகவும் பிரகாசமான வாய்ப்பை வழங்குகின்றன.


This conclusion is obvious to anyone familiar with programming languages.

நிரலாக்க மொழிகளைப் பற்றி அறிந்த எவருக்கும் இந்த முடிவு தெளிவாகத் தெரியும்.


We should be certain before adding a feature.

ஒரு அம்சத்தைச் சேர்ப்பதற்கு முன் நாம் உறுதியாக இருக்க வேண்டும்.


Type theory will be popular in a few years.

வகை கோட்பாடு சில வருடங்களில் பிரபலமாக இருக்கும்.


The system has a sound combination of logic and programming.

இந்த அமைப்பு தர்க்கம் மற்றும் நிரலாக்கத்தின் சரியான கலவையைக் கொண்டுள்ளது.


இது இன்னும் நிலையற்ற நிலையில் உள்ளது.


One of the keenest intellectual pleasures is to see connections.

மிகவும் ஆர்வமூட்டும் அறிவுசார் இன்பங்களில் ஒன்று தொடர்புகளைக் காண்பதாகும்.


Functional languages offer a much brighter prospect for program development.

நிரல் உருவாக்கத்திற்கு செயல்பாட்டு மொழிகள் மிகவும் பிரகாசமான வாய்ப்பை வழங்குகின்றன.


The next step seems to be to move to a system like type theory.

அடுத்த கட்டமாக வகை கோட்பாடு போன்ற ஒரு அமைப்புக்கு நகர்வதாகத் தெரிகிறது.


இன்னும் நிறைய செய்ய வேண்டியிருக்கிறது.


I am certain that languages based on type theory will be popular.

வகை கோட்பாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்ட மொழிகள் பிரபலமாக இருக்கும் என்று நான் உறுதியாக நம்புகிறேன்.


The difficulty is the way in which the proof objects and types are mingled.

சிரமம் என்னவென்றால், நிரூபணப் பொருட்கள் மற்றும் வகைகள் கலந்திருக்கும் விதம்.


Reflecting on the material, one negative conclusion seems inescapable.

பொருளைப் பற்றி சிந்திக்கும்போது, ஒரு எதிர்மறையான முடிவு தவிர்க்க முடியாததாகத் தெரிகிறது.


Nonetheless, the plight of imperative programming seems to get ever more hopeless.

இருப்பினும், கட்டாய நிரலாக்கத்தின் நிலைமை எப்போதும் நம்பிக்கையற்றதாகத் தெரிகிறது.


Although it is in theory quite possible to develop proofs for programs.

கோட்பாட்டில் நிரல்களுக்கான ஆதாரங்களை உருவாக்குவது முற்றிலும் சாத்தியம் என்றாலும்.


The thrill on discovering that the proof of the deduction theorem is exactly the same.

கழித்தல் தேற்றத்தின் ஆதாரம் அப்படியே இருப்பதைக் கண்டுபிடிப்பதில் ஏற்பட்ட சிலிர்ப்பு.


The concept of 'truth' is central to philosophical discussions.

'உண்மை' என்ற கருத்து தத்துவார்த்த விவாதங்களுக்கு மையமாக உள்ளது.


Please provide the necessary documentation for the application.

விண்ணப்பத்திற்கான தேவையான ஆவணங்களைச் சமர்ப்பிக்கவும்.


The company's profits increased significantly this quarter.

நிறுவனத்தின் லாபம் இந்த காலாண்டில் கணிசமாக அதிகரித்துள்ளது.


Quantum physics explores the behavior of matter and energy at the atomic and subatomic levels.

அணு மற்றும் துணை அணு மட்டங்களில் பொருளின் மற்றும் ஆற்றலின் நடத்தையை குவாண்டம் இயற்பியல் ஆராய்கிறது.


தயவுசெய்து அதை மீண்டும் சொல்ல முடியுமா?


The algorithm efficiently sorts the data.

அல்காரிதம் தரவை திறமையாக வரிசைப்படுத்துகிறது.


அவர் தனது துறையில் புகழ்பெற்ற நிபுணர்.


The government announced new economic policies.

அரசாங்கம் புதிய பொருளாதாரக் கொள்கைகளை அறிவித்தது.


The intricate details of the design were fascinating.

வடிவமைப்பின் நுட்பமான விவரங்கள் கவர்ச்சிகரமானவை.


The research team conducted extensive experiments.

ஆராய்ச்சி குழு விரிவான சோதனைகளை நடத்தியது.


உங்கள் உதவிக்கு நான் மிகவும் நன்றியுள்ளவனாக இருக்கிறேன்.


The project requires careful planning and execution.

திட்டத்திற்கு கவனமாக திட்டமிடல் மற்றும் செயல்படுத்துதல் தேவை.


The impact of climate change is becoming increasingly evident.

காலநிலை மாற்றத்தின் தாக்கம் பெருகி வருகிறது.


The software update includes several bug fixes.

மென்பொருள் புதுப்பிப்பில் பல பிழை திருத்தங்கள் உள்ளன.


Can you recommend a good restaurant nearby?

அருகில் உள்ள நல்ல உணவகத்தை பரிந்துரைக்க முடியுமா?


The complex equation was difficult to solve.

சிக்கலான சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது கடினமாக இருந்தது.


She demonstrated exceptional leadership skills.

அவர் சிறந்த தலைமைத்துவ திறன்களை வெளிப்படுத்தினார்.


The economic forecast predicts a period of growth.

பொருளாதார முன்னறிவிப்பு வளர்ச்சி காலத்தை முன்னறிவிக்கிறது.


The artist's unique style is easily recognizable.

கலைஞரின் தனித்துவமான பாணியை எளிதில் அடையாளம் காண முடியும்.


The study analyzed the effects of the new drug.

புதிய மருந்தின் விளைவுகளை இந்த ஆய்வு பகுப்பாய்வு செய்தது.