Q:

Para onde vão os dados de formulários HTML?

Em sites com cadastro, como o Facebook, para onde vão os dados quando você completa o cadastro?
E quando você loga no site, ele reconhece se você tem um conta ou não tem?

A:

Em termos gerais, acontece o seguinte:

O formulário é enviado para o servidor, no endereço indicado no atributo action do <form>.
Um programa recebe os dados no ambiente do servidor – em PHP, C#, Java, Python, Ruby, enfim, pode ser praticamente qualquer linguagem.
O programa decide o que fazer com esses dados. Geralmente salvar em um banco de dados (por exemplo, num novo cadastro), ou comparar com dados já existentes no banco (por exemplo, num procedimento de login).

